消費(fèi)空間不平等的不變特征：以

1（d）清楚地表明，不同宗教的分布特征非常相似。最后，我們研究了支出在城市和農(nóng)村經(jīng)濟(jì)中的分布。圖1（e）顯示了在歸一化下，相似特征占優(yōu)勢(shì)。這一發(fā)現(xiàn)需要進(jìn)一步闡述。如上所述，勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中有大量文獻(xiàn)探討了不同社會(huì)和種族群體的消費(fèi)總水平，當(dāng)然，城市農(nóng)村消費(fèi)差距早已得到承認(rèn)。這些發(fā)現(xiàn)表明，我們不需要不同的模型來(lái)探索不同條件下的分散情況。換言之，雖然某些人群（例如，城市）的經(jīng)濟(jì)蛋糕比他們的對(duì)手（例如，農(nóng)村）更大，但這表明了絕對(duì)的不平等。在這兩種情況下，相對(duì)不平等的性質(zhì)相似。當(dāng)我們?cè)噲D提出一個(gè)連貫的概觀時(shí)，我們?cè)谙旅胬�用了這個(gè)特性。當(dāng)我們對(duì)MPECE數(shù)據(jù)集執(zhí)行相同的操作時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)類似的結(jié)果。見(jiàn)圖2-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（a） M海洋所有狀態(tài)X-3.99u=-0.222，σ=0.497-3-2-10.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x/十、（b） 所有狀態(tài)u=-0.222，σ=0.497-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（c） SCSTOBCGen-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（d） 印度教穆斯林基督教會(huì)-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（e） RuralUrbanFIG。2： 月度人均等效消費(fèi)者支出（MPECE）數(shù)據(jù)，顯示2009-2010年人均家庭支出x的概率密度P（x）。數(shù)據(jù)按平均值hxi重新縮放。（a） 黑色實(shí)心圓表示所有狀態(tài)的數(shù)據(jù)，而其他符號(hào)表示35個(gè)單獨(dú)狀態(tài)和UT中的每一個(gè)。分布bu lk的對(duì)數(shù)正態(tài)分布具有參數(shù)u=-0.222，σ=0.497，而冪律尾的衰減指數(shù)為3.99；（b） 所有州的相同數(shù)據(jù)以對(duì)數(shù)線性標(biāo)度繪制，并與對(duì)數(shù)正態(tài)曲線進(jìn)行比較。

（c） 對(duì)于4個(gè)不同的種姓——SC、ST、OBC和General；（d） 對(duì)于4個(gè)不同的宗教標(biāo)簽-印度河、穆斯林、基督教和其他；（e） 對(duì)于農(nóng)村和城市人口-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1yMPCE（a）-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1ympec（b）圖3：歸一化概率密度P（y）vs.y=x-uσ，其中u是x的樣本平均值，σ是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。2009-2010年人均住房支出數(shù)據(jù)。每種類型的符號(hào)對(duì)應(yīng)于35種不同狀態(tài)或UT中的一種。數(shù)據(jù)用于（a）MPCE和（b）MPCE。D、 兩個(gè)數(shù)據(jù)集之間的比較圖。4比較從兩個(gè)數(shù)據(jù)集計(jì)算的基尼值和k指數(shù)。基尼指數(shù)介于0.19之間- MPCE為0.41，0.18- MPECE為0.38，k指數(shù)為0.56- MPC為0.65，MPC為0.56- MPECE為0.64。很明顯，MPCE在這兩個(gè)指標(biāo)上都比MPCE表現(xiàn)出更多的不平等。值得在此重復(fù)這些定義。MPCE只是一個(gè)家庭每人每月的消費(fèi)支出。它的計(jì)算方法是家庭總消費(fèi)支出除以家庭成員人數(shù)。重要的是要注意，每個(gè)家庭成員在此公式中的權(quán)重相等。另一方面，MPECE考慮了家庭內(nèi)部的異質(zhì)性。它是每月人均當(dāng)量消費(fèi)支出，根據(jù)家庭成員的年齡按不同權(quán)重計(jì)算。尤其是，成年會(huì)員的體重要比兒童高。使用等效量表的主要目的是說(shuō)明燃料、住宿等常用商品的消費(fèi)。這些商品的消費(fèi)必然與家庭規(guī)模成比例增長(zhǎng)。相反，年齡結(jié)構(gòu)在消費(fèi)中起著至關(guān)重要的作用。要了解為什么MPCE比MPCE更不相等，請(qǐng)考慮一個(gè)島k，其中有N個(gè)大小序列為{s，s，…sN}的族，即。

第i個(gè)系列的尺寸為si。為了保持清晰，以下數(shù)量不包含islandindex，因?yàn)槲覀冎挥懻摰趉個(gè)島嶼。當(dāng)我們對(duì)島嶼之間進(jìn)行比較時(shí)，我們將開(kāi)始用k為島嶼編制索引。讓我們用{e，e，…，EN}表示每個(gè)家庭的總支出，其中總支出是家庭成員所有個(gè)人支出的總和，EN=snXiein。（1） 在不損失任何概括性的情況下，讓我們也假設(shè)支出的排名如下≥ E≥ . . . ≥ EN（2） 根據(jù)定義，我們有截至n-th系列asMP CEn=snXisn。ein（3）如果所有家庭成員的權(quán)重均為1/sn，同樣，我們可以將MPEE寫為個(gè)人支出的加權(quán)平均值，第i個(gè)成員的權(quán)重為{wi}，MP ECEn=snXiwi。ein，=snXisn。ein+snXi（wi-序號(hào)）。ein，=M P CEn+n（4），其中，在最后一行中，我們使用了公式3，最后一項(xiàng)n組合了支出與平均值的離散度。值得注意的是，總的來(lái)說(shuō)≥ 0。（5）原因是，在對(duì)MPEE的定義中，成年人的體重更高（體重>體重），通常他們的個(gè)人支出也會(huì)很高，即體重>體重。因此，n有一個(gè)向上的偏差。這有一個(gè)直接的推論，即ishMP ECEni=hMP CEni+hni≥ hMP CEni（6），這意味著對(duì)于任何島嶼，平均MPCE都將大于平均MPCE。這一點(diǎn)可以從表一中輕松驗(yàn)證。請(qǐng)注意，一個(gè)島嶼的基尼系數(shù)，每個(gè)家庭的人均支出比例為{en}（其中▄e為MPCEA和MPECE）∈ N可以寫成g=1+N-Nh埃尼[NXnn.~en]，=1+N-N.X說(shuō)。（7） 0.150.20.250.30.350.40.450.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45MPCEGini0。560.580.60.620.640.660.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66MPCEk-indexFIG。4： 比較各州兩組數(shù)據(jù)中的基尼指數(shù)和k指數(shù)。

MPCE始終顯示出比MPCE更多的不平等，因?yàn)樗�有點(diǎn)無(wú)一例外都位于45以下o線現(xiàn)在請(qǐng)注意，我們有（忽略島的索引）XMP ECE=PNnn。enh  eni，=PNnn。MP ECEnNPNnMP ECEn，=N.PNnn。（MP CEn+n）PNn（MP CEn+n）�。ǜ鶕�(jù)公式4），=N.PNnn。MP CEn+PNnn。nPNnMP cent+PNnn！。（8） 注意，通過(guò)類似的邏輯，我們得到xmp CE=N.PNnn。MP CEnPNnMP CEn！。（9） 在附錄B中，我們提供了一個(gè)啟發(fā)式論證，表明考慮到等式2中的支出排名，我們有XMP ECE≥ XMP CE。（10） 我們還需要兩個(gè)條件，即：。支出的充分分散和企業(yè)的較少分散，這兩者都應(yīng)包含在數(shù)據(jù)中。在基尼系數(shù)（方程式7）的方程式中重新插入上述不等式，我們可以看到任何島嶼的克格勃-塞克≥ GMP-ECEk，（11）意味著在州層面的比較中存在更大的不平等。由于k指數(shù)也與基尼系數(shù)高度相關(guān)，因此數(shù)據(jù)也顯示了類似的特征。五、 不等式ref的動(dòng)力學(xué)特征�！�43】提出了這樣一個(gè)觀點(diǎn)，即正在經(jīng)歷經(jīng)濟(jì)演變的經(jīng)濟(jì)體在質(zhì)量下降之前，首先表現(xiàn)出不斷增長(zhǎng)的趨勢(shì)。這種與平均收入相關(guān)的倒“U”形不平等曲線被稱為庫(kù)茲尼-ts曲線。盡管實(shí)際時(shí)間路徑遵循0。20.250.30.350.4500 1000 1500 2000 2500 3000 3500人均消費(fèi)支出。20.250.30.350.41500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000人均消費(fèi)支出。5： 基尼系數(shù)分別與MPCE和MPCE的人均消費(fèi)支出的變化。回歸曲線為直線Y=mX+c，Y為基尼系數(shù)，X為人均消費(fèi)支出。對(duì)于MPCE，m=2.986×10-5和c=0.285，對(duì)于MPCE，m=2.074×10-5和c=0.245。

在這兩種情況下，隨著消費(fèi)的增加，絕對(duì)不平等指標(biāo)（基尼）的上升趨勢(shì)顯而易見(jiàn)。還要注意的是，消費(fèi)是收入的一個(gè)很好的代表。因此，該圖有效地顯示了著名的庫(kù)茲涅茨曲線的第一部分。由于作為人均收入函數(shù)的不平等比庫(kù)茲網(wǎng)最初提出的更為復(fù)雜，它提供了對(duì)不平等動(dòng)態(tài)的基本直觀理解。然而，這一問(wèn)題一直存在爭(zhēng)議，因?yàn)楹髞?lái)的研究表明，實(shí)質(zhì)性的不平等實(shí)際上會(huì)影響經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，從而使因果關(guān)系不像表面上看起來(lái)那么復(fù)雜。同樣，參考文獻(xiàn)[44]表明，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)本身可能不會(huì)直接對(duì)分配結(jié)果產(chǎn)生不利影響。因此，從政策角度來(lái)看，這可能不是一個(gè)主要因素。然而，人們反復(fù)看到的一點(diǎn)是，一些不平等似乎是快速增長(zhǎng)的自然產(chǎn)物。再分配政策對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響也不明確。即使在發(fā)展的后期，不平等也可能加劇。但證據(jù)好壞參半。關(guān)于這一機(jī)制的理論和實(shí)證研究，另見(jiàn)參考文獻(xiàn)[46]。對(duì)我們來(lái)說(shuō)，重要的是，在增長(zhǎng)和發(fā)展的初始階段，那些平均更繁榮的國(guó)家將比不那么繁榮的國(guó)家在某種程度上更加不平等。盡管它最初是作為一個(gè)時(shí)間序列概念提出的，但我們可以很容易地將其適應(yīng)于多國(guó)設(shè)置。隨著時(shí)間的推移，所有國(guó)家都會(huì)遵循相同的增長(zhǎng)路徑（例如，本著基本的新古典主義增長(zhǎng)模式的精神，也稱為低增長(zhǎng)模式[47]）。因此，一個(gè)更加繁榮的國(guó)家只不過(guò)是一個(gè)貧窮的國(guó)家在未來(lái)會(huì)變成什么樣子。在這里，我們對(duì)忽視機(jī)構(gòu)的作用進(jìn)行了粗略的簡(jiǎn)化[48]。

wegain是一個(gè)同時(shí)在多個(gè)經(jīng)濟(jì)實(shí)體之間進(jìn)行比較的框架。注意到幾乎所有的印度州都很大（例如，匈牙利在2014年的GDP為1371億美元，馬哈拉施特拉邦在同一年的GDP為2343億美元；數(shù)據(jù)根據(jù)當(dāng)前匯率換算成美元），我們可以進(jìn)行跨州比較。圖5顯示了狀態(tài)消費(fèi)不等式與平均消費(fèi)圖�；貧w系數(shù)為線性增長(zhǎng)Y=mX+c，其中Y是基尼系數(shù)，Xis是人均消費(fèi)支出。對(duì)于MPCE，m=2.986×10-5和c=0.285和F，m=2.074×10-5和c=0.245。該情節(jié)的一個(gè)非常有趣的特點(diǎn)是，它完全遵循庫(kù)茲涅茨的基本主張，即在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)初期，越繁榮的國(guó)家應(yīng)該越不平等。就印度而言，參考文獻(xiàn)[51]提出了關(guān)于和反對(duì)這種不平等動(dòng)態(tài)發(fā)現(xiàn)的論點(diǎn)。盡管橫截面估計(jì)反駁了這一說(shuō)法，但《時(shí)代周刊》的估計(jì)數(shù)字顯示了一些支持。在一般情況下，參考文獻(xiàn)[52]顯示了這種特征如何在一個(gè)非常s的內(nèi)生動(dòng)力學(xué)模型中出現(xiàn)，這取決于市場(chǎng)相關(guān)性與平均儲(chǔ)蓄率的相對(duì)強(qiáng)度。對(duì)不平等演變的進(jìn)一步研究將有助于揭示數(shù)據(jù)與理論的一致程度。正如參考文獻(xiàn)[45]所強(qiáng)調(diào)的那樣，即使在發(fā)達(dá)經(jīng)濟(jì)體，不平等也可能加劇，這取決于政策和廣泛的制度因素，因此，無(wú)論是在總量層面還是在州層面，預(yù)測(cè)印度經(jīng)濟(jì)將走哪條道路都是一項(xiàng)非常重要的任務(wù)。六、 在解釋本節(jié)的結(jié)果時(shí)，我們提出了一個(gè)基本模型來(lái)理解經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)。

我們?cè)谶@里提出的基本觀點(diǎn)是，各州的消費(fèi)比例可以相對(duì)于平均收入或其他因素保持不變。另一個(gè)重要的觀點(diǎn)是，隨著平均消費(fèi)（與收入高度相關(guān)）的增加，不平等普遍加劇。假設(shè)經(jīng)濟(jì)體由J個(gè)島嶼組成，每個(gè)島嶼都是陸地，可以與一個(gè)國(guó)家或在當(dāng)前的情況下，與印度的一個(gè)州進(jìn)行識(shí)別。在每個(gè)島j上都有一系列的代理人I∈ J、 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)I=[0，1]。每個(gè)代理都由i索引∈ 一、 時(shí)間是離散的。在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，代理人都被賦予單位勞動(dòng)力，這些勞動(dòng)力在不同的工人中是不同的。他們不重視休閑，因此可以無(wú)彈性地提供勞動(dòng)力。每個(gè)島嶼都有一個(gè)連續(xù)體，可以將勞動(dòng)力與標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)函數(shù)結(jié)合起來(lái)生產(chǎn)產(chǎn)出。j島的總生產(chǎn)水平為yj=zj【ZIξρijdi】1/ρ（12），其中zjis是土地特定的技術(shù)狀態(tài)，ξij是j狀態(tài)下第i個(gè)代理的勞動(dòng)稟賦，ρ是生產(chǎn)函數(shù)中的一個(gè)參數(shù)。勞動(dòng)稟賦是一個(gè)常數(shù)，歸一化為1，ξij=1。（13） 我們將假設(shè)技術(shù)跨越島嶼，因此通常zj6=zj′，其中j，j′∈ J、 企業(yè)利潤(rùn)最大化，πJ=PjYj-ZIwijξijdi=zjPj[ZIξρijdi]1/ρ-ZIwijξijdi（14），其中Pjis是最終產(chǎn)品的價(jià)格，wjis是工資率。原則上，我們可以將一般價(jià)格水平標(biāo)準(zhǔn)化為統(tǒng)一價(jià)格水平，而不會(huì)失去任何概括性。第二個(gè)等式可以替換上述函數(shù)（等式14）中的生產(chǎn)函數(shù)（等式12）。通過(guò)選擇最佳勞動(dòng)力數(shù)量，企業(yè)達(dá)到以下一階條件：ξij=Pjzjwij公司1.-ρYjzj。（15） 可以看出，一般價(jià)格水平只不過(guò)是工資率的綜合函數(shù)，Pj=z-1j[ZIwρ1-ρijdi]1-ρρ。（16） 給定勞動(dòng)力需求方程（方程式。

15） ，平衡工資率可以通過(guò)勞動(dòng)力市場(chǎng)清算條件（從等式13中可以回憶出，總捐贈(zèng)為1）來(lái)確定。因此，在平衡中，第j島的GDP由yj=zj給出。（17） 由于數(shù)據(jù)是關(guān)于家庭消費(fèi)支出的，我們必須對(duì)模型進(jìn)行離散化。假設(shè)任何generichousehold h是一組試劑sh=[ph，ph）]，并且有N（N≥ 1） 每個(gè)島嶼的住戶數(shù)量j∈ J、 我們還將用N表示每個(gè)島上的家庭集合。對(duì)于第一個(gè)家庭，s=[0，p），對(duì)于最后一個(gè)家庭，N，sN=[pN，1]，在每個(gè)島和。為了保持清晰，假設(shè)任何代理都只能屬于一個(gè)家庭。因此∪H∈Nsh=I（18），其中，我們用N表示島上的家庭集合。在島上j∈ J、 總產(chǎn)量Yjis分配給N個(gè)家庭進(jìn)行消費(fèi)。顯然，hth家庭的貢獻(xiàn)（whj）為whj=zjZshφ（ξij）di（19），其中φ（ξij）表示代理人的勞動(dòng)稟賦分配。最后，為了分割餡餅，即總產(chǎn)量，我們假設(shè)家庭從消費(fèi)中獲得效用，并具有與其貢獻(xiàn)成比例的議價(jià)能力。這本質(zhì)上是一種納什討價(jià)還價(jià)的局面。所得收入分配將由avector給出，我們用{vhj}h表示∈N、 A.絕對(duì)不平等考慮到收入比例{vhj}h∈因?yàn)闆](méi)有儲(chǔ)蓄，我們也可以輕松地降低絕對(duì)不平等的水平。最簡(jiǎn)單的方法是考慮標(biāo)準(zhǔn)偏差，σj=sNXh∈N（vhj- hvhji）（20），其中h.i表示操作員的期望值。同樣，我們可以計(jì)算基尼系數(shù)或k指數(shù)。請(qǐng)注意，這解釋了擁有更好的技術(shù)對(duì)不平等的影響，下面將對(duì)此進(jìn)行探討。在這里，應(yīng)該提到的是，這個(gè)模型的建立方式，在收入和消費(fèi)之間沒(méi)有區(qū)別。

因此，如果每個(gè)家庭都有完善的分享機(jī)制，任何收入沖擊都將轉(zhuǎn)化為總消費(fèi)沖擊。在現(xiàn)實(shí)中，通常情況并非如此【8，53】。然而，我們保留這一假設(shè)，因?yàn)樗�使模型非常�?jiǎn)單，就目前而言，它支持假設(shè)沒(méi)有資產(chǎn)市場(chǎng)和家庭內(nèi)的全部保險(xiǎn)。B、 比較州一級(jí)的不平等考慮兩個(gè)島嶼1和2。島1具有基準(zhǔn)技術(shù)水平，z=1。島2有一個(gè)更好的技術(shù)，z>z。那么很容易看出，如果所有其他東西在島上保持不變（生產(chǎn)力分布、家庭分布和生產(chǎn)函數(shù)），那么島2的收入/消費(fèi)比例只是島1的一個(gè)版本。很容易證明，就標(biāo)準(zhǔn)差而言，不平等性會(huì)上升（見(jiàn)等式20）。因此，在方差或標(biāo)準(zhǔn)偏差方面，該模型解釋了日益嚴(yán)重的不平等�；�本原因是這些索引不是尺度不變的。也很容易看出，在這種正�；�之后，這兩種消費(fèi)比例是一致的。這解釋了歸一化后消費(fèi)分布的變化（圖1）。任何相對(duì)不平等的衡量標(biāo)準(zhǔn)，即顯示零度同質(zhì)性，都不應(yīng)受到這種變化的影響。從本質(zhì)上講，這反映了一種觀點(diǎn)，即各島嶼之間的相對(duì)不平等程度應(yīng)保持不變，與收入的比例變化有關(guān)。這可能會(huì)帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樵谶@種情況下，洛倫茲曲線不會(huì)改變，這意味著基尼系數(shù)也不會(huì)改變。因此，我們?cè)俳榻B一種成分。

隨著更好的技術(shù)（z>z）增加了個(gè)人信息的規(guī)模，讓我們假設(shè)家庭收到隨機(jī)捐贈(zèng)ehi~ 島i中的f（0，σi）∈ {1，2}其中f（.）具有明確矩的概率密度函數(shù)。為了規(guī)范化，我們假設(shè)σ=0，σ>σ。因此，我們得到了兩份收入報(bào)告。對(duì)于島1，文件保持不變{v′h1}h∈N={vh1}h∈Nand{v′h2}h∈N={vh2+eh2}h∈N、 讓我們用hvi和hvi來(lái)表示這兩個(gè)系列的平均值。然后，兩個(gè)歸一化序列{v′h1/hvi}和{vh2/hvi}具有相同的平均值，但后者是前者的平均壓力擴(kuò)散，這立即意味著{v′h1/hvi}在二階隨機(jī)支配{v′h1/hvi}。因此，以下不等式適用于累積密度函數(shù)F（.），Zx公司-∞[F（v′）- F（v′）]dv′\'≥ 0 x（21），其中v′′=v/hvi。這立即意味著弗洛倫茲主導(dǎo)了F（參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[35]），因此在基尼系數(shù)G方面，G>G。（22）這解釋了人均消費(fèi)不平等的上升趨勢(shì)。七、總結(jié)與結(jié)論在本文中，我們以印度為例研究了不等式的空間不變性。我們分析了35個(gè)州和聯(lián)邦地區(qū)的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)還可用于不同種姓、宗教信仰和城鄉(xiāng)差距。本研究的主要發(fā)現(xiàn)是，在適當(dāng)?shù)臍w一化下，分布會(huì)塌陷為單個(gè)分布。這揭示了不平等的靜態(tài)特征。特別是，這意味著各州在不平等方面的差異可能來(lái)自平均收入的差異。當(dāng)這種影響發(fā)生時(shí)，傳播似乎相當(dāng)穩(wěn)定。