定價(jià)泛函的非參數(shù)估計(jì)

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英文標(biāo)題：
《Nonparametric estimates of pricing functionals》
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作者：
Carlo Marinelli, Stefano d\'Addona
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We analyze the empirical performance of several non-parametric estimators of the pricing functional for European options, using historical put and call prices on the S&P500 during the year 2012. Two main families of estimators are considered, obtained by estimating the pricing functional directly, and by estimating the (Black-Scholes) implied volatility surface, respectively. In each case simple estimators based on linear interpolation are constructed, as well as more sophisticated ones based on smoothing kernels, \\`a la Nadaraya-Watson. The results based on the analysis of the empirical pricing errors in an extensive out-of-sample study indicate that a simple approach based on the Black-Scholes formula coupled with linear interpolation of the volatility surface outperforms, both in accuracy and computational speed, all other methods.
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中文摘要：
我們利用2012年標(biāo)普500指數(shù)的歷史看跌和看漲價(jià)格，分析了歐洲期權(quán)定價(jià)函數(shù)的幾種非參數(shù)估計(jì)的實(shí)證表現(xiàn)�？紤]了兩類主要的估計(jì)量，分別通過直接估計(jì)定價(jià)函數(shù)和估計(jì)（Black-Scholes）隱含波動(dòng)率面獲得。在每種情況下，都會(huì)構(gòu)造基于線性插值的簡(jiǎn)單估值器，以及基于平滑核的更復(fù)雜估值器，\\`a la Nadaraya Watson�；�于大量樣本外研究中經(jīng)驗(yàn)定價(jià)誤差分析的結(jié)果表明，基于Black-Scholes公式的簡(jiǎn)單方法加上波動(dòng)率曲面的線性插值，在精度和計(jì)算速度上都優(yōu)于所有其他方法。
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分類信息：

一級(jí)分類：Quantitative Finance        數(shù)量金融學(xué)
二級(jí)分類：Pricing of Securities        證券定價(jià)
分類描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融證券及其衍生產(chǎn)品和結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品的估值和套期保值
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PDF下載：
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關(guān)鍵詞：非參數(shù)估計(jì) 參數(shù)估計(jì) 非參數(shù) Quantitative respectively

定價(jià)函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)Carlo Marinelli*Stefano d\'Addona+2017年6月8日摘要我們利用2012年標(biāo)普500指數(shù)的歷史看跌和看漲價(jià)格，分析了歐洲期權(quán)定價(jià)函數(shù)的幾個(gè)非參數(shù)估計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)表現(xiàn)。本文考慮了兩類主要的估計(jì)量，分別通過直接估計(jì)定價(jià)函數(shù)和估計(jì)（BlackScholes）隱含波動(dòng)率面得到。在每種情況下，都會(huì)構(gòu)造基于線性插值的簡(jiǎn)單e刺激器，以及基于平滑核的更復(fù)雜的e刺激器，`a la Nadaraya Watson�；�于大量樣本外研究中的經(jīng)驗(yàn)定價(jià)誤差分析的結(jié)果表明，基于Black-Scholes公式和波動(dòng)率曲面線性插值的簡(jiǎn)單方法在精度和計(jì)算速度上都優(yōu)于其他方法。關(guān)鍵詞：非參數(shù)估計(jì)；期權(quán)定價(jià)；隱含波動(dòng)率。JEL代碼：G13、C14、C52。1引言本工作的目的是分析定價(jià)函數(shù)的一些非參數(shù)和半?yún)��?shù)估計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)性能，特別強(qiáng)調(diào)最簡(jiǎn)單的未定權(quán)益，即歐式看跌期權(quán)和看漲期權(quán)。著名的非參數(shù)估計(jì)思想如下：假設(shè)某種類型的未定權(quán)益的價(jià)格可以寫成π（y，…，ym），其中π：Rm→ R是一個(gè)要估計(jì)的函數(shù)，y，是可觀察的參數(shù)。給出一個(gè)樣本（yk）1≤K≤N=yk，ymk1.≤K≤N、 （πk）1≤K≤N=π（yk，…，ymk）1.≤K≤Nand y∈ 例如，我們可以通過函數(shù)∧π：Rm的線性插值來估計(jì)π（y）→ 定義為π（y）：=NXk=1πk{yk}（y）。*倫敦大學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系，倫敦高爾街，WC1E 6BT，英國。+通訊作者。

羅馬大學(xué)政治學(xué)系3，Via G.Chiaberra，199，意大利羅馬I-00145。電話+39-06-5733-5331；電子郵件daddona@uniroma3.itThis如果y延伸到（yi）1的凸包，那么過程e是很好理解的≤我≤N（詳見§3.1）。當(dāng)然，還有許多基于非線性插值而非線性插值的其他方法，在某些情況下可能更可取，例如獲得比連續(xù)更規(guī)則的估計(jì)量。同樣的問題也從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度進(jìn)行了研究，導(dǎo)致了大量關(guān)于回歸函數(shù)非參數(shù)估計(jì)的文獻(xiàn)（例如，參見[3]和參考文獻(xiàn)）。本文中最流行的估計(jì)量之一是所謂的Nadaraya Watsonestimator（見[12,18]），即^πε（y）=mXk=1ρε（y）- yk）πkmXk=1ρε（y）- yk），其中ρ：Rm→ R是一個(gè)積分為1且ρε：=ε的嚴(yán)格正連續(xù)徑向函數(shù)-mρ（·ε）-1） ，或?qū)ζ渖约痈爬�。參�?shù)（y，…，ym）的其他函數(shù)可以在samemanner中清楚地估計(jì)出來。特別是，如果參數(shù)是Black-Scholes定價(jià)公式（波動(dòng)率除外）中的常用輸入，則可以估計(jì)隱含波動(dòng)率，然后可以將其反饋到Black-Scholes公式，以產(chǎn)生定價(jià)函數(shù)的更高估計(jì)值。在定價(jià)問題中應(yīng)用n-on參數(shù)回歸“a la Nadaraya Watson”的最早工作之一是[1]，其中，作者報(bào)告了在標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)歐洲看漲期權(quán)定價(jià)中應(yīng)用的半?yún)��?shù)估計(jì)精度方面令人印象深刻的實(shí)證結(jié)果。

迄今為止，有大量文獻(xiàn)涉及這種定價(jià)方法——參見[7]和其中的參考文獻(xiàn)，以及[6,14]中的相關(guān)觀點(diǎn)。我們的目的是了解不同（但相關(guān)）的非參數(shù)方法在定價(jià)精度方面是如何形成的，以及與非平凡的全參數(shù)替代方案相比。Nadaraya Watson核估計(jì)是否比基本線性插值產(chǎn)生更好的估計(jì)，這是一個(gè)與實(shí)際目的有明顯相關(guān)性的自然問題。為了避免標(biāo)的指數(shù)價(jià)格過程中出現(xiàn)較大的馬爾可夫性和平穩(wěn)性假設(shè)，我們使用阿吉文日觀察到的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行估計(jì)（未觀察到�。┊�(dāng)天的期權(quán)價(jià)格。事實(shí)證明，從經(jīng)驗(yàn)的角度來看，Nadaraya Watson核估計(jì)器似乎沒有任何優(yōu)勢(shì)，與簡(jiǎn)單的線性插值估計(jì)器相比，Nadaraya Watson核估計(jì)器的性能相當(dāng)差。后者也始終優(yōu)于基于（傾斜）方差伽馬過程的abenchmark參數(shù)估計(jì)（見[11]）。這項(xiàng)工作的重點(diǎn)與[1]有所不同，后者的主要目的是估計(jì)所謂的國家價(jià)格密度。然而，這種估計(jì)是通過對(duì)定價(jià)函數(shù)的執(zhí)行價(jià)格（估計(jì)）的二階導(dǎo)數(shù)得到的。關(guān)于非參數(shù)密度估計(jì)的更大文獻(xiàn)處理的是一個(gè)不太一般但非常相關(guān)的問題。對(duì)于歐洲看漲期權(quán)，其主要（實(shí)際）應(yīng)用似乎是pricinganyway。

另一方面，[1]中使用的主要比較術(shù)語是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隱式二叉樹的比較方法，經(jīng)驗(yàn)測(cè)試以非常不同的方式進(jìn)行：將九個(gè)月內(nèi)觀察到的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行聚合，以構(gòu)建隱式波動(dòng)率面的Nadaraya Watson估值器，該估值器被視為標(biāo)的資產(chǎn)的期貨價(jià)格、履約時(shí)間和價(jià)格的函數(shù)，成熟的時(shí)間。然后，該估計(jì)器被用于預(yù)測(cè)未來五天（即未來一到二十天）的歐洲看漲期權(quán)價(jià)格（具有一定范圍內(nèi)的類似價(jià)格）。在文獻(xiàn)中，我們既沒有發(fā)現(xiàn)沒有匯總不同日期觀察到的期權(quán)價(jià)格的實(shí)證研究，也沒有發(fā)現(xiàn)關(guān)于定價(jià)函數(shù)非參數(shù)估計(jì)的實(shí)際方面的討論，以便為普通歐式期權(quán)定價(jià)。我們的目標(biāo)是在廣泛的樣本外分析的基礎(chǔ)上，嘗試回答這方面的一些基本問題。本文的其余部分組織如下：在第2節(jié)中，在回顧了與股息支付資產(chǎn)相關(guān)的收益率過程的一些事實(shí)之后，我們證明了在涉及資產(chǎn)、股息率和無風(fēng)險(xiǎn)利率過程的條件不相關(guān)假設(shè)下，股息支付資產(chǎn)上的歐式期權(quán)的看跌期權(quán)平價(jià)恒等式。這些基本的理論結(jié)果是必要的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)帶來了紅利。第3節(jié)詳細(xì)介紹了經(jīng)驗(yàn)分析中使用的各種估計(jì)量。第4節(jié)對(duì)2012年全年標(biāo)普500期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)集進(jìn)行了初步分析。

最后，第5節(jié)詳細(xì)研究了第3.2節(jié)中介紹的估計(jì)器的經(jīng)驗(yàn)性能，設(shè)定了一個(gè)概率空間(Ohm, F、 P）被賦予（右連續(xù)、完整）過濾F=（英尺）0≤T≤T、 讓adap處理β和S：Ohm ×[0，T]→ R描述兩種交易資產(chǎn)的價(jià)格：前者只是無風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)金賬戶，即βt=expZtrsdsT∈ [0，T]，其中r表示適應(yīng)的、P-a.s.正的、短速率過程；后者是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)集合，有一個(gè)相關(guān)的適應(yīng)的、P-a.s.正的、分割的d r ate過程q，例如ZTqudu∈ L∞(Ohm, 英國《金融時(shí)報(bào)》，第頁）。相應(yīng)的產(chǎn)量過程Y定義為asYt=St+ZTqSSDsT∈ [0，T]。然而，我們可以找到使用非參數(shù)方法來研究相關(guān)問題的文章，而不需要對(duì)不同日期的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行匯總。例如，[8]估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)中性密度，[2]測(cè)試定價(jià)核心的單調(diào)性。我們假設(shè)存在一個(gè)概率測(cè)度Q，相當(dāng)于P，這樣，設(shè)置ˇSt:=β-1ST，貼現(xiàn)收益率過程ˇY，定義為ˇYt:=ˇSt+ZtquˇSudu≡ β-1tSt+Ztquβ-1蘇都T∈ [0，T]是一個(gè)平方可積的Q-鞅。設(shè)置A:=eR·qudu，通過partsformula的積分得到ˋStAt=S+ZtˋSu-道+ZtAu-dˇSu+[ˇS，A]t，其中ztˇSu-dAu=ZtˇSu-Auqudu=ZtˇSuAuqudu，通過A的連續(xù)性，ZtAu-dˇSu=ZtAudˇSu[ˇS，A]t=0。尤其是StexpZt（曲）-（如）杜=ˇStAt=S+ZtAudˇyu是一個(gè)（平方可積）Q鞅，因?yàn)閍是有界且可預(yù)測(cè)的。眾所周知，等價(jià)概率測(cè)度Q的存在，使得貼現(xiàn)收益率過程ˇY是一個(gè)Q-鞅，這意味著由β和定義的市場(chǎng)沒有套利。一般來說，Q不是唯一的，除非市場(chǎng)是完整的，我們假設(shè)Q只是一個(gè)固定的定價(jià)指標(biāo)。

更準(zhǔn)確地說，我們假設(shè)我們得到了一個(gè)定價(jià)函數(shù)π：L∞(Ohm, 英國《金融時(shí)報(bào)》，第頁）→ RX 7→ 情商β-1TX，或者，等價(jià)地，π（X）：=EZTX，ZT:=βTdQdP，其中隨機(jī)變量ZT通常位于隨機(jī)貼現(xiàn)因子的名稱下。為了表示法的簡(jiǎn)潔性，我們將寫出A（t，t）：=expZTtqudu, \'q（t，t）：=t- tlog EQ[A（t，t）| Ft]，B（t，t）：=exp-ZTtrudu, \'r（t，t）：=-T- t log E[B（t，t）| Ft]，其中0≤ T≤ T我們將多次使用以下關(guān)于r、q和S的假設(shè)。假設(shè)（H）。對(duì)于任何0<t的≤ T，CovQA（t，t），B（t，t）英尺= 0，CovQA（t，t），B（t，t）街英尺= 這里，對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y∈ L(Ohm, 英國《金融時(shí)報(bào)》（FT，Q），CovQ十、 Y英尺:= 情商十、- 等式[X |英尺]Y- 等式[Y | Ft]英尺.假設(shè)（H）相當(dāng)于q[A（t，t）B（t，t）| Ft]=EQ[A（t，t）| Ft]EQ[B（t，t）| Ft]，EQ[A（t，t）B（t，t）ST | Ft]=EQ[A（t，t）| Ft]EQ[B（t，t）ST | Ft]對(duì)于所有0<t≤ T.2.1帶股息的看跌期權(quán)平價(jià)及其應(yīng)用為了實(shí)現(xiàn)定價(jià)函數(shù)的一些估計(jì)，而且為了對(duì)原始期權(quán)價(jià)格進(jìn)行初步分析，我們需要?dú)W洲看跌期權(quán)和看跌期權(quán)的看跌期權(quán)平價(jià)版本。這也將產(chǎn)生股息率過程q（函數(shù)）的自然估計(jì)量。命題2.1。假設(shè)假設(shè)（H）成立。那么，對(duì)于任何0≤ T≤ T，Ste-\'q（t，t）（t-（t）- 柯-\'r（t，t）（t-t） =Ct-Pt，（1）其中Ct和Pt分別表示歐洲看漲期權(quán)和看跌期權(quán)在t時(shí)的價(jià)格，到期日為t，履約價(jià)格為K，基礎(chǔ)價(jià)格過程為S。

乘以標(biāo)識(shí)系統(tǒng)- K=（ST）- （K）+- （K）- （圣）-按β-1T=B（0，T）=e-Rtruduan接受條件期望yieldsEQβ-1st英尺- 凱克β-1T英尺= 情商β-1噸（圣- （K）+英尺- 情商β-1T（K）- （圣）-英尺= B（0，t）計(jì)算機(jī)斷層掃描- Pt.利用假設(shè)（H）和與S和q有關(guān)的d計(jì)數(shù)產(chǎn)量過程的鞅性質(zhì)，得到一個(gè)H asEQβ-1st英尺情商A（0，T）英尺= 情商β-1塔（0，T）街英尺= A（0，t）B（0，t）St，式中A（0，T）英尺= A（0，t）等式A（t，t）英尺, 亨切克β-1st英尺= 機(jī)頂盒（0，t）均衡器A（t，t）英尺= StB（0，t）e-\'q（t，t）（t-t） 。類似地，EQβ-1T英尺= B（0，t）等式B（t，t）英尺= B（0，t）e-\'r（t，t）（t-t） 。收集術(shù)語和簡(jiǎn)化產(chǎn)量-\'q（t，t）（t-（t）- 柯-\'r（t，t）（t-t） =Ct-Pt�；叵胍幌拢瑃時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)格≤ 或有權(quán)X的T∈ L(Ohm, FT，Q）定義為fxt:=EQ[Xβ-1T | Ft]EQ[β-1T | Ft]（參見，例如[10，§2.4]）。使用完全類似于上述命題證明中的論點(diǎn)，我們可以得到下面的“點(diǎn)前平價(jià)”。提議2.2。如果假設(shè)（H）成立，則Fstt=Ste（`r（t，t）-\'q（t，t））（t-t） 。特別是，（1）也可以寫為fstte-\'r（t，t）（t-（t）- 柯-\'r（t，t）（t-t） =Ct- Pt。命題2.1的看跌期權(quán)平價(jià)恒等式意味著一個(gè)估計(jì)“q（t，t）”的過程：假設(shè)“r（t，t）的估計(jì)量可用，并用相同的符號(hào)表示，并且具有相同到期日和執(zhí)行價(jià)格的看跌期權(quán)的價(jià)格是可觀測(cè)的，恒等式（1）產(chǎn)生“q（t，t）=-T- tlogC（t，t，K）- P（t，t，K）+Ke-\'r（t，t）（t-t） St，（2）其中C（t，t，K）和P（t，t，K）分別表示到期日為t、履約價(jià)為K的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)在t時(shí)的價(jià)格。

在應(yīng)用中，通常更傾向于對(duì)q（t，t）進(jìn)行估計(jì)，而不是選擇對(duì)q的其他替代物，如h史前動(dòng)物。3定價(jià)函數(shù)的估計(jì)器從現(xiàn)在起，我們將假設(shè)（a）過濾F是由（S，r，q）生成的（正確的、連續(xù)的、完成的）過濾；（b） 過程（S，r，q）是馬爾可夫的，即對(duì)于任何有界隨機(jī)變量ξ，其σ是可測(cè)的（Ss、rs、qs）t≤s≤T, 一相[ξ| Ft]=E[ξ|t，St，rt，qt]。這些假設(shè)立即暗示存在一個(gè)函數(shù)πp:R→ 例如πp（t，St，rt，qt，K，t）=βtEQβ-1T（K）- （圣）+英尺= EQhe-RTtrudu（K- （圣）+盡管如此∈ [0，T]。特別是，在沒有任何進(jìn)一步假設(shè)的情況下，定價(jià)函數(shù)將是時(shí)間依賴的，因此，一般來說，使用時(shí)間t的價(jià)格函數(shù)估計(jì)時(shí)間t+1的期權(quán)價(jià)格是錯(cuò)誤的，或者類似地，使用不同日期的定價(jià)函數(shù)加總數(shù)據(jù)來估計(jì)定價(jià)函數(shù)是錯(cuò)誤的。如果我們進(jìn)一步假設(shè)過程（S，r，q）是一個(gè)時(shí)間齊次馬爾可夫過程，那么這個(gè)過程就變得有意義了：在這種情況下，πpdepend S對(duì)t和t的作用只是通過它們的差異-t、 然而，目前尚不清楚對(duì)數(shù)據(jù)生成過程的時(shí)間同質(zhì)性假設(shè)是否合適，因此，第5節(jié)的實(shí)證分析是以固定時(shí)間進(jìn)行的。在§4.1中，我們還提供了似乎不支持時(shí)間同質(zhì)性假設(shè)合理性的實(shí)證數(shù)據(jù)。我們現(xiàn)在開始詳細(xì)描述將在第5節(jié)中測(cè)試的看跌期權(quán)定價(jià)函數(shù)的各種估計(jì)器。

類似的考慮因素（沒有詳細(xì)說明）包含f或看漲期權(quán)，事實(shí)上，對(duì)于任意的歐洲衍生品：只有當(dāng)支付函數(shù)是u邊界時(shí)，才需要注意，在這種情況下，必須假設(shè)可積條件。3.1線性插值集（Yk）1≤K≤Nand（pk）1≤K≤n Rnand R和f:Rn的集合→ R一個(gè)函數(shù)，使得f（Yk）=pk表示所有1≤ K≤ N.表示（Yk）1的凸包≤K≤Nby C，線性插值函數(shù)^f:C→ R是通過函數(shù)huN，1i的線性插值獲得的函數(shù)，其中uNis是標(biāo)記的經(jīng)驗(yàn)度量uN:=NXk=1pkδYk，δ代表狄拉克度量，huN，1i:=PNk=1pk{Yk}。這里的線性插值意味著計(jì)算（Yk）的Delaunay三角剖分，對(duì)于任何y∈ C、 ^f（y）通過huN，1i在包含y的簡(jiǎn)單頂點(diǎn)上的插值得到。我們記得點(diǎn)集（Yk）1的三角剖分≤K≤Nis將凸包C劃分為頂點(diǎn)為點(diǎn)（Yk）1的simp塊≤K≤特別是，這樣一個(gè)分區(qū)的任何兩個(gè)單純形要么不相交，要么共享一個(gè)公共面。（Yk）1的Delaunay三角剖分≤K≤n證明了以下額外性質(zhì)：如果B是一個(gè)球，使得單純形的所有部分都屬于它的邊界，那么B的內(nèi)部不包含（Yk）1的任何元素≤K≤N.一次delaunay三角剖分（Yk）1≤K≤已獲得NHA，^f（y），y∈ C、 定義如下：讓v，vd唯一單純形V的頂點(diǎn)，使得y∈ V，writey=dXj=1αjvj，αj≥ 0，Xαj=1。然后我們?cè)O(shè)置^f（y）：=Pjαjf（vj）。有關(guān)這些主題的詳細(xì)介紹，請(qǐng)參見[13]。對(duì)于相關(guān)的討論，也從經(jīng)濟(jì)角度來看，參見[14]。設(shè)t>0為固定值。