通過(guò)有界回歸組合Alpha

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英文標(biāo)題：
《Combining Alphas via Bounded Regression》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We give an explicit algorithm and source code for combining alpha streams via bounded regression. In practical applications typically there is insufficient history to compute a sample covariance matrix (SCM) for a large number of alphas. To compute alpha allocation weights, one then resorts to (weighted) regression over SCM principal components. Regression often produces alpha weights with insufficient diversification and/or skewed distribution against, e.g., turnover. This can be rectified by imposing bounds on alpha weights within the regression procedure. Bounded regression can also be applied to stock and other asset portfolio construction. We discuss illustrative examples.
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中文摘要：
我們給出了通過(guò)有界回歸組合alpha流的顯式算法和源代碼。在實(shí)際應(yīng)用中，通常沒(méi)有足夠的歷史來(lái)計(jì)算大量字母的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）。為了計(jì)算alpha分配權(quán)重，可以對(duì)SCM主成分進(jìn)行（加權(quán)）回歸。回歸通常會(huì)產(chǎn)生阿爾法權(quán)重，其多樣性不足和/或分布不均，例如營(yíng)業(yè)額。這可以通過(guò)在回歸過(guò)程中對(duì)alpha權(quán)重施加邊界來(lái)糾正。有界回歸也可以應(yīng)用于股票和其他資產(chǎn)組合的構(gòu)建。我們討論示例。
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分類信息：

一級(jí)分類：Quantitative Finance        數(shù)量金融學(xué)
二級(jí)分類：Portfolio Management        項(xiàng)目組合管理
分類描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
證券選擇與優(yōu)化、資本配置、投資策略與績(jī)效評(píng)價(jià)
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一級(jí)分類：Quantitative Finance        數(shù)量金融學(xué)
二級(jí)分類：Risk Management        風(fēng)險(xiǎn)管理
分類描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理貿(mào)易、銀行、保險(xiǎn)、企業(yè)和其他應(yīng)用中的金融風(fēng)險(xiǎn)
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關(guān)鍵詞：Alpha Pha Quantitative Applications Insufficient

通過(guò)有界回歸組合alpha Zura Kakushadze§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，Stamford，CT 06905+第比利斯自由大學(xué)商學(xué)院和物理學(xué)院240，David Agmashenebeli Alley，第比利斯，0159，喬治亞州（2015年1月7日；2015年10月22日修訂）摘要我們給出了組合alpha streamsvia有界回歸的顯式算法和源代碼。在實(shí)際應(yīng)用中，通常無(wú)法計(jì)算大量阿爾法的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）。為了計(jì)算alpha分配權(quán)重，可以對(duì)SCM主成分進(jìn)行（加權(quán)）回歸�；貧w通常會(huì)產(chǎn)生差異不足和/或分布不均的α權(quán)重，例如營(yíng)業(yè)額。這可以通過(guò)在回歸過(guò)程中對(duì)α權(quán)重施加邊界來(lái)糾正。有界回歸也可以應(yīng)用于股票和其他資產(chǎn)組合的構(gòu)建。我們討論示例。關(guān)鍵詞：對(duì)沖基金、阿爾法流、阿爾法權(quán)重、投資組合周轉(zhuǎn)率、投資分配、加權(quán)回歸、多元化、界限、優(yōu)化、因子模型Szura Kakusha dze博士是QuantigicSolutions LLC的總裁，也是第比利斯自由大學(xué)的全職教授。電子郵件：zura@quantigic.comDISCLAIMER：本地址由相應(yīng)的作者使用，其目的僅為表明其在出版物中的職業(yè)職責(zé)。特別是，本文內(nèi)容并非投資、法律、稅務(wù)或任何其他此類建議，也絕不代表Quantigic Solutions LLC（網(wǎng)站www.Quantigic）的觀點(diǎn)。或其任何其他聯(lián)系人。1簡(jiǎn)介隨著技術(shù)的進(jìn)步，阿爾法流的數(shù)量不斷增加。其中許多是曇花一現(xiàn)的，壽命相對(duì)較短。

因此，在實(shí)際應(yīng)用中，通常沒(méi)有足夠的歷史來(lái)計(jì)算大量阿爾法流的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）——SCM是奇異的。因此，在lpha投資組合優(yōu)化中直接使用SCM不是一種選擇。規(guī)避這一困難的一種方法是為alphastreams建立f-actor模型[56]。由于alpha業(yè)務(wù)的高度保密性，此類f-actor模型必須在內(nèi)部構(gòu)建——沒(méi)有針對(duì)alpha流的“標(biāo)準(zhǔn)化”FactorModel的商業(yè)供應(yīng)商。與股票的因子模型一樣，Alpha的此類模型構(gòu)建需要一定的專業(yè)知識(shí)和時(shí)間開(kāi)銷。因此，在實(shí)踐中，人們往往會(huì)選擇一條更簡(jiǎn)單的道路。正如[56]中更詳細(xì)地討論的那樣，可以對(duì)SCM進(jìn)行變形，使其成為非奇異的，然后將如此變形的SCM用于（比如）Alpha組合的Sharpe比率優(yōu)化。對(duì)于小變形，這將減少到阿爾法流預(yù)期收益的橫截面加權(quán)回歸[56]。積分權(quán)重是α的倒數(shù)示例方差。負(fù)荷矩陣的列（經(jīng)驗(yàn)值返回重新回歸值）只不過(guò)是對(duì)應(yīng)于其正（即非消失）特征值的CM的前K個(gè)主分量【56】。回歸通常會(huì)產(chǎn)生阿爾法權(quán)重，其多樣性不足和/或分布不均勻，例如營(yíng)業(yè)額。因此，如果一些預(yù)期收益被接受，那么，盡管非均勻回歸權(quán)重（抑制更易波動(dòng)的alpha），相應(yīng)的alpha權(quán)重可能比多樣化考慮所期望的更大。此外，主成分對(duì)營(yíng)業(yè)額等數(shù)量一無(wú)所知。獲得更“全面”的投資組合組合的一個(gè)簡(jiǎn)單方法是設(shè)置alpha權(quán)重的界限。

這就是我們?cè)谶@里討論的方法。當(dāng)單個(gè)alpha流在單獨(dú)的執(zhí)行平臺(tái)上交易時(shí)，alpha權(quán)重為非負(fù)。通過(guò)在同一執(zhí)行平臺(tái)（我們?cè)诖瞬捎玫目蚣埽┥辖M合和交易多個(gè)alpha流，可以通過(guò)在不同alpha流之間進(jìn)行內(nèi)部交叉交易來(lái)節(jié)省交易成本（與走向市場(chǎng)相對(duì)應(yīng)）。那么阿爾法權(quán)重可以是負(fù)數(shù)。當(dāng)alpha權(quán)重可以同時(shí)取正值和負(fù)值時(shí)，邊界回歸問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。它歸結(jié)為一種我們?cè)诘?節(jié)討論的迭代算法。這個(gè)算法hm實(shí)際上可以從一個(gè)優(yōu)化算法中派生出來(lái)，這里的“alpha”（遵循常見(jiàn)的交易者行話）通常意味著人們可能希望交易的任何合理的“預(yù)期回報(bào)”，不一定與“學(xué)術(shù)”alpha相同。在實(shí)踐中，通�？赡軣o(wú)法獲得有關(guān)alpha如何構(gòu)建的詳細(xì)信息，例如，唯一可用的數(shù)據(jù)可能是頭寸數(shù)據(jù)，因此“alpha”是一系列指令，用于在某些時(shí)間t，t。有關(guān)對(duì)沖基金知識(shí)的部分列表，請(qǐng)參見(jiàn)[1]-[20]以及其中的參考文獻(xiàn)。有關(guān)投資組合優(yōu)化和相關(guān)文獻(xiàn)的Partialist，請(qǐng)參見(jiàn)，例如，[21]-[55]及其參考文獻(xiàn)。糾正這種情況的一種方法是將基于營(yíng)業(yè)額的因素添加到負(fù)荷矩陣中【56】。有關(guān)最近的討論，請(qǐng)參見(jiàn)[57]。[58]中討論的邊界（在因子模型上下文中），采用o優(yōu)化的回歸極限。我們還在附錄A中給出了有界回歸算法的R源代碼。附錄B包含一些法律術(shù)語(yǔ)。我們?cè)诘?節(jié)中得出結(jié)論，在第3節(jié)中，我們還討論了有界回歸，交易成本如下[59]。2有界回歸2。1符號(hào)我們有N個(gè)字母αi，i=1，N.每個(gè)α實(shí)際上是一個(gè)時(shí)間序列αi（ts），s=0，1。

，M，其中是最近的時(shí)間。αi以下指αi（t）。設(shè)Cijbe為N個(gè)時(shí)間序列αi（ts）的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）。如果M<N，則只有M個(gè)Cijare非零的特征值，而其余的特征值“小”，這些值是通過(guò)計(jì)算舍入而扭曲的零。Alphasαi與權(quán)重wi相結(jié)合。任何杠桿都包括在αi的定義中，即如果給定的α由j標(biāo)記∈ {1，…，N}在杠桿率為α′j（這是一個(gè)原始的、無(wú)杠桿的α）和相應(yīng)的杠桿率為L(zhǎng)j:1之前，我們定義αj≡ Ljα′j。根據(jù)這一定義，權(quán)重滿足條件nxi=1 | wi |=1（1）。在這里，我們?cè)试S權(quán)重為負(fù)值，因?yàn)槲覀兏信d趣的是阿爾法在同一執(zhí)行平臺(tái)上交易，并且阿爾法之間的交易是交叉的，所以我們實(shí)際上是在交易組合的阿爾法α≡PNi=1αiwi。2.2加權(quán)回歸當(dāng)SCM Cijis為單數(shù)且沒(méi)有其他矩陣（例如，因子模型）來(lái)替代它時(shí)，可以對(duì)SCM進(jìn)行變形，使其成為非單數(shù)，然后在（例如）阿爾法組合的夏普比率優(yōu)化中使用所述變形SCM【56】。對(duì)于小變形，這將減少到alphastream預(yù)期收益的橫截面加權(quán)回歸[56]�；貧w權(quán)重zi（不要與α權(quán)重wi混淆）是α：zi的逆樣本方差≡ 1/Cii。荷載矩陣的列∧iA，A=1，K、 對(duì)預(yù)期回報(bào)進(jìn)行回歸的，只不過(guò)是SCMC的前K個(gè)主成分，對(duì)應(yīng)于其正（即非消失）特征值。然而，現(xiàn)在我們將保持∧iAgeneral（例如，人們可能希望在∧iA中包括其他風(fēng)險(xiǎn)因素[56]）。實(shí)際上，這假設(shè)在任何alpha時(shí)間序列中都沒(méi)有N/As。

如果某些或所有阿爾法時(shí)間序列以非均勻方式包含N/A，并且通過(guò)省略此類成對(duì)N/A來(lái)計(jì)算相關(guān)矩陣，則產(chǎn)生的相關(guān)矩陣可能具有負(fù)特征值，這些特征值不是因計(jì)算舍入而扭曲的零。權(quán)重wi由以下公式給出：wi=γziεi（2），其中εi是αiover∧iA（不含截距，除非截距包含在∧iA中，即–見(jiàn)下文）的橫截面回歸的殘差與回歸權(quán)重zi：εi=αi-NXj=1zjαjKXA，B=1∧iA∧jBQ-1AB（3），其中Q-1ABis是Qab的倒數(shù)≡NXi=1zi∧iA∧iB（4），且（2）中的整體rγ通過(guò)（1）固定。注意我們有A.∈ {1，…，K}:NXi=1wi∧iA=0（5），因此，權(quán)重wi為中性w.r.t。由荷載矩陣∧iA列定義的風(fēng)險(xiǎn)因素。2.3邊界由于權(quán)重wi可以有任意一個(gè)符號(hào)，我們將假設(shè)權(quán)重sw的上下限-我≤ wi≤ w+i（6）滿足條件SW-我≤ 0（7）w+i≥ 0（8）w-i<w+i（9）最后一個(gè)條件不是限制性的：如果對(duì)于i標(biāo)記的某些α，我們有w-i=w+i，那么我們可以簡(jiǎn)單地設(shè)置wi=w-我將這個(gè)α從下面的有界回歸過(guò)程中完全排除。此外，如果出于任何原因，我們希望給定wi沒(méi)有上限/下限，我們可以簡(jiǎn)單地設(shè)置w±i=±1。界限可用于多樣化目的：例如，人們可能希望要求沒(méi)有α的權(quán)重大于某個(gè)固定（�。┌俜治沪危�即| wi |≤ ξ、 所以w±i=±ξ。人們也可能希望抑制高周轉(zhuǎn)率阿爾法的貢獻(xiàn)，例如，通過(guò)要求| wi |≤eξifτi≥ τ*, 式中，τ是營(yíng)業(yè)額，τ*是一些削減營(yíng)業(yè)額，而ξ是一些（�。┌俜治粩�(shù)。邊界也可用于限制低容量相位的權(quán)重。Etc.2.4運(yùn)行有界回歸so，我們?nèi)绾卧诨貧w的上下文中施加界限？這里有兩個(gè)微妙之處。

首先，我們希望保留事實(shí)上的r中立性（5），它在同時(shí)重定標(biāo)wi下是不變的→ ζwi（其中ζ為常數(shù)）。如果我們簡(jiǎn)單地將一些變量設(shè)置為它們的上界或下界，這通常會(huì)破壞它們的標(biāo)度不變性，因此屬性（5）將丟失。其次，我們必須保持正規(guī)化條件（1）。事實(shí)上，正是這種標(biāo)準(zhǔn)化條件允許有意義地設(shè)置邊界w±i，因?yàn)榛貧w本身并不能將整體標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)γ定義為（2），因?yàn)橹匦驴s放不變性→ ζwi。這里我們討論有界回歸算法。為了節(jié)省空間，我們跳過(guò)了詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，因?yàn)樗�是在一個(gè)因子模型的上下文中采用帶界優(yōu)化的回歸極限，這兩個(gè)問(wèn)題在[5-8]中都有詳細(xì)討論。讓我們定義指數(shù)i的以下子集∈ J≡ {1, . . .

N}:wi=w+i，i∈ J+（10）wi=w-i、 我∈ J-（11） J≡ J+∪ J-（12） eJ≡ J\\J（13）進(jìn)一步，刪除αi≡ γαi（14）yA≡xi∈eJzieαi∧iA+Xi∈J+w+i∧iA+Xi∈J-W-i∧iA（15）這里的營(yíng)業(yè)額（每iod超過(guò)一個(gè)月，例如每日營(yíng)業(yè)額）定義為比率τi≡ i在對(duì)應(yīng)的totaldollar holdings Ii（long plus shor t）上標(biāo)記為d的阿爾法交易的總美元Di（多頭加空頭）的Di/Ii。作者：亞太城市I*對(duì)于給定的α，我們指的是P&L Pi（Ii）最大化的投資水平Ii的值（考慮非線性影響）。由于我們?cè)谶@里考慮的回歸是用回歸權(quán)重zi=1/Cii加權(quán)的，這已經(jīng)控制了α波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)敞口，因此，只有當(dāng)希望進(jìn)一步抑制波動(dòng)性α?xí)r，基于波動(dòng)性施加界限才會(huì)產(chǎn)生差異。優(yōu)化的回歸極限本質(zhì)上等于極限ξi≡ ηeξi，η→ 0，eξi=固定，其中ξi是因子模型中的特定（特殊）風(fēng)險(xiǎn)，因子載荷矩陣與回歸載荷矩陣∧iA（以及K×K因子協(xié)方差矩陣在回歸極限中無(wú)關(guān)緊要）一致——詳情見(jiàn)[5 8]。待確定（見(jiàn)下文γ）。那么我們有wi=zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！，我∈eJ（16）我∈ J+：zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≥ w+i（17）我∈ J-: zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≤ W-我（18）在哪里-1是K×K矩陣的逆q:eQAB≡xi∈eJzi∧iA∧iB（19）這里的載荷矩陣∧i必須是Eq可逆的。另外，請(qǐng)注意，我∈eJ由（16）和wi=w+i，i給出∈ J+和wi=w-i、 我∈ J-滿足（5），因?yàn)樗麄儜?yīng)該滿足。注意，對(duì)于給定的γ值，（15）求解雅吉文J+和J-. 另一方面，（17）和（18）確定J+和J-就你而言。然后迭代求解整個(gè)系統(tǒng)，其中在初始迭代時(shí)，取J（0）=J，因此J+（0）和J-（0）為空。然而，我們?nèi)匀恍枰獙?duì)γ進(jìn)行放大。

這是通過(guò)一個(gè)單獨(dú)的操作過(guò)程完成的，我們將在下面描述。因?yàn)槲覀冇袃纱蔚�代，為了保證（快速）收斂，J±迭代（即對(duì)于給定的γ值）可以按如下方式進(jìn)行。讓bw（s）這樣我∈ J:w-我≤ bw（s）i≤ w+i（20）A.∈ {1，…，K}:NXi=1bw（s）i∧iA=0（21）在第（s+1）次迭代時(shí)，設(shè)w（s+1）ibe由（16）給出∈eJ（s），w（s+1）i=w±i∈ J±（s）。該解滿足（5），但可能不滿足邊界。樂(lè)琪≡ w（s+1）i- bw（s）i（22）hi（t）≡ bw（s）i+t qi，t∈ [0，1]（23）然后bw（s+1）i≡ 嗨（t）*) = bw（s）i+t*qi（24）如果∧Ia的列由CM Cijcorres的前K個(gè)主成分組成，并與其正特征值相關(guān)聯(lián)，則情況就是這樣。然而，正如上文所述，他表示我們將保持荷載矩陣的通用性。t在哪里*是t的最大值，使得hi（t）滿足界限。我們有：qi>0：pi≡ 閔w（s+1）i，w+i（25）氣<0:pi≡ 最大值w（s+1）i，w-我（26）t*= 明皮- bw（s）iqiqi6=0，i∈ J（27）現(xiàn)在，在每個(gè)步驟中，我們可以通過(guò)我∈ J+（s+1）：bw（s+1）i=w+i（28）我∈ J-（s+1）：bw（s+1）i=w-i（29），其中bw（s+1）i按上述方式迭代計(jì)算，我們可以取bw（0）i≡ 初始化迭代時(shí)為0。與（17）和（18），（28）和（29）不同，在每次迭代中向J±一個(gè)（或幾個(gè)）元素添加新元素。收斂準(zhǔn)則由J+（s+1）=J+（s）（30）J給出-（s+1）=J-（s） （31）這些標(biāo)準(zhǔn)基于離散量，不受計(jì)算（機(jī)器）精度影響。然而，在實(shí)踐中，（28）和（29）中的等式是在一定公差（或機(jī)器精度）內(nèi)理解的——參見(jiàn)附錄a中的R代碼。

我們將通過(guò)ewi在最終迭代中表示bw（s+1）iat的值（對(duì)于給定的γ值）。最后，通過(guò)另一個(gè)迭代程序確定γ，如下所示（我們使用上標(biāo)a表示γ迭代，以區(qū)別于用于J±迭代的上標(biāo)s）：γ（a+1）=γ（a）PNi=1ew（a）i（32）式中，ew（a）iis的計(jì)算公式為γ=γ（a）。為了實(shí)現(xiàn)快速收斂，初始值γ（0）可以設(shè)置如下：γ（0）=PNi=1zi |εi |（33），其中εi是（3）給出的加權(quán)回歸（無(wú)界）的殘差。γ迭代的收斂標(biāo)準(zhǔn)由γ（a+1）=γ（a）（34）給出，在某些預(yù)設(shè)的計(jì)算公差（或機(jī)器精度）內(nèi)理解。附錄A中給出了上述算法hm的R代碼以及一些額外的解釋性文檔。請(qǐng)注意，該代碼不是為了“花哨”或以任何其他方式優(yōu)化速度而編寫的。相反，它的唯一目的是以一種簡(jiǎn)單易懂的方式演示上述有界回歸算法。附錄B.2.5《股票投資組合的應(yīng)用》中給出了與該代碼相關(guān)的一些法律術(shù)語(yǔ)。我們?cè)谟?jì)算lpha流投資組合權(quán)重的背景下討論了有界回歸算法。然而，該算法非常通用，并且通過(guò)適當(dāng)?shù)姆��?hào)識(shí)別，可以應(yīng)用于股票或其他合適工具的投資組合。事實(shí)上，它也可以在金融之外應(yīng)用。這里，為了明確起見(jiàn)，我們將重點(diǎn)關(guān)注股票投資組合，事實(shí)上，我們將假設(shè)它們是美元中性的，因此允許多頭和空頭頭寸。2.5.1建立交易Let us首先討論建立交易，即我們從零頭寸開(kāi)始，建立N只股票的投資組合。而不是alpha流，我們的索引i∈ {1，…，N}≡ J現(xiàn)在給股票貼標(biāo)簽。