消費空間不平等的不變特征：以

1（d）清楚地表明，不同宗教的分布特征非常相似。最后，我們研究了支出在城市和農村經濟中的分布。圖1（e）顯示了在歸一化下，相似特征占優(yōu)勢。這一發(fā)現(xiàn)需要進一步闡述。如上所述，勞動經濟學中有大量文獻探討了不同社會和種族群體的消費總水平，當然，城市農村消費差距早已得到承認。這些發(fā)現(xiàn)表明，我們不需要不同的模型來探索不同條件下的分散情況。換言之，雖然某些人群（例如，城市）的經濟蛋糕比他們的對手（例如，農村）更大，但這表明了絕對的不平等。在這兩種情況下，相對不平等的性質相似。當我們試圖提出一個連貫的概觀時，我們在下面利用了這個特性。當我們對MPECE數(shù)據(jù)集執(zhí)行相同的操作時，也會出現(xiàn)類似的結果。見圖2-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（a） M海洋所有狀態(tài)X-3.99u=-0.222，σ=0.497-3-2-10.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x/十、（b） 所有狀態(tài)u=-0.222，σ=0.497-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（c） SCSTOBCGen-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（d） 印度教穆斯林基督教會-7-6-5-4-3-2-1-2-1x/十、（e） RuralUrbanFIG。2： 月度人均等效消費者支出（MPECE）數(shù)據(jù)，顯示2009-2010年人均家庭支出x的概率密度P（x）。數(shù)據(jù)按平均值hxi重新縮放。（a） 黑色實心圓表示所有狀態(tài)的數(shù)據(jù)，而其他符號表示35個單獨狀態(tài)和UT中的每一個。分布bu lk的對數(shù)正態(tài)分布具有參數(shù)u=-0.222，σ=0.497，而冪律尾的衰減指數(shù)為3.99；（b） 所有州的相同數(shù)據(jù)以對數(shù)線性標度繪制，并與對數(shù)正態(tài)曲線進行比較。

（c） 對于4個不同的種姓——SC、ST、OBC和General；（d） 對于4個不同的宗教標簽-印度河、穆斯林、基督教和其他；（e） 對于農村和城市人口-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1yMPCE（a）-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1ympec（b）圖3：歸一化概率密度P（y）vs.y=x-uσ，其中u是x的樣本平均值，σ是樣本標準偏差。2009-2010年人均住房支出數(shù)據(jù)。每種類型的符號對應于35種不同狀態(tài)或UT中的一種。數(shù)據(jù)用于（a）MPCE和（b）MPCE。D、 兩個數(shù)據(jù)集之間的比較圖。4比較從兩個數(shù)據(jù)集計算的基尼值和k指數(shù)�；�尼指數(shù)介于0.19之間- MPCE為0.41，0.18- MPECE為0.38，k指數(shù)為0.56- MPC為0.65，MPC為0.56- MPECE為0.64。很明顯，MPCE在這兩個指標上都比MPCE表現(xiàn)出更多的不平等。值得在此重復這些定義。MPCE只是一個家庭每人每月的消費支出。它的計算方法是家庭總消費支出除以家庭成員人數(shù)。重要的是要注意，每個家庭成員在此公式中的權重相等。另一方面，MPECE考慮了家庭內部的異質性。它是每月人均當量消費支出，根據(jù)家庭成員的年齡按不同權重計算。尤其是，成年會員的體重要比兒童高。使用等效量表的主要目的是說明燃料、住宿等常用商品的消費。這些商品的消費必然與家庭規(guī)模成比例增長。相反，年齡結構在消費中起著至關重要的作用。要了解為什么MPCE比MPCE更不相等，請考慮一個島k，其中有N個大小序列為{s，s，…sN}的族，即。

第i個系列的尺寸為si。為了保持清晰，以下數(shù)量不包含islandindex，因為我們只討論第k個島嶼。當我們對島嶼之間進行比較時，我們將開始用k為島嶼編制索引。讓我們用{e，e，…，EN}表示每個家庭的總支出，其中總支出是家庭成員所有個人支出的總和，EN=snXiein。（1） 在不損失任何概括性的情況下，讓我們也假設支出的排名如下≥ E≥ . . . ≥ EN（2） 根據(jù)定義，我們有截至n-th系列asMP CEn=snXisn。ein（3）如果所有家庭成員都得到相同的權重1/sn，同樣，我們可以將MPECE寫為個人支出的加權平均值，第i個成員的權重為{wi}，MP ECEn=snXiwi。ein，=snXisn。ein+snXi（wi-序號）。ein，=M P CEn+n（4），其中，在最后一行中，我們使用了公式3，最后一項n組合了支出與平均值的離散度。值得注意的是，總的來說≥ 0。（5）原因是，在對MPEE的定義中，成年人的體重更高（體重>體重），通常他們的個人支出也會很高，即體重>體重。因此，n有一個向上的偏差。這有一個直接的推論，即ishMP ECEni=hMP CEni+hni≥ hMP CEni（6），這意味著對于任何島嶼，平均MPCE都將大于平均MPCE。這一點可以從表一中輕松驗證。請注意，一個島嶼的基尼系數(shù)，每個家庭的人均支出比例為{en}（其中▄e為MPCEA和MPECE）∈ N可以寫成g=1+N-Nh埃尼[NXnn.~en]，=1+N-N.X說。（7） 0.150.20.250.30.350.40.450.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45MPCEGini0。560.580.60.620.640.660.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66MPCEk-indexFIG。4： 比較各州兩組數(shù)據(jù)中的基尼指數(shù)和k指數(shù)。

MPCE始終顯示出比MPCE更多的不平等，因為所有點無一例外都位于45以下o線現(xiàn)在請注意，我們有（忽略島的索引）XMP ECE=PNnn。enh  eni，=PNnn。MP ECEnNPNnMP ECEn，=N.PNnn。（MP CEn+n）PNn（MP CEn+n）�。ǜ鶕�(jù)公式4），=N.PNnn。MP CEn+PNnn。nPNnMP cent+PNnn！。（8） 注意，通過類似的邏輯，我們得到xmp CE=N.PNnn。MP CEnPNnMP CEn！。（9） 在附錄B中，我們提供了一個啟發(fā)式論證，表明考慮到等式2中的支出排名，我們有XMP ECE≥ XMP CE。（10） 我們還需要兩個條件，即：。支出的充分分散和企業(yè)的較少分散，這兩者都應包含在數(shù)據(jù)中。在基尼系數(shù)（方程式7）的方程式中重新插入上述不等式，我們可以看到任何島嶼的克格勃-塞克≥ GMP-ECEk，（11）意味著在州層面的比較中存在更大的不平等。由于k指數(shù)也與基尼系數(shù)高度相關，因此數(shù)據(jù)也顯示了類似的特征。五、 不等式ref的動力學特征。【43】提出了這樣一個觀點，即正在經歷經濟演變的經濟體在質量下降之前，首先表現(xiàn)出不斷增長的趨勢。這種與平均收入相關的倒“U”形不平等曲線被稱為庫茲尼-ts曲線。盡管實際時間路徑遵循0。20.250.30.350.4500 1000 1500 2000 2500 3000 3500人均消費支出。20.250.30.350.41500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000人均消費支出。5： 基尼系數(shù)分別與MPCE和MPCE的人均消費支出的變化�；貧w曲線為直線Y=mX+c，Y為基尼系數(shù)，X為人均消費支出。對于MPCE，m=2.986×10-5和c=0.285，對于MPCE，m=2.074×10-5和c=0.245。

在這兩種情況下，隨著消費的增加，絕對不平等指標（基尼）的上升趨勢顯而易見。還要注意的是，消費是收入的一個很好的代表。因此，該圖有效地顯示了著名的庫茲涅茨曲線的第一部分。由于作為人均收入函數(shù)的不平等比庫茲網最初提出的更為復雜，它提供了對不平等動態(tài)的基本直觀理解。然而，這一問題一直存在爭議，因為后來的研究表明，實質性的不平等實際上會影響經濟增長，從而使因果關系不像表面上看起來那么復雜。同樣，參考文獻[44]表明，經濟增長本身可能不會直接對分配結果產生不利影響。因此，從政策角度來看，這可能不是一個主要因素。然而，人們反復看到的一點是，一些不平等似乎是快速增長的自然產物。再分配政策對經濟增長的影響也不明確。即使在發(fā)展的后期，不平等也可能加劇。但證據(jù)好壞參半。關于這一機制的理論和實證研究，另見參考文獻[46]。對我們來說，重要的是，在增長和發(fā)展的初始階段，那些平均更繁榮的國家將比不那么繁榮的國家在某種程度上更加不平等。盡管它最初是作為一個時間序列概念提出的，但我們可以很容易地將其適應于多國設置。隨著時間的推移，所有國家都會遵循相同的增長路徑（例如，本著基本的新古典主義增長模式的精神，也稱為低增長模式[47]）。因此，一個更加繁榮的國家只不過是一個貧窮的國家在未來會變成什么樣子。在這里，我們對忽視機構的作用進行了粗略的簡化[48]。

wegain是一個同時在多個經濟實體之間進行比較的框架。注意到幾乎所有的印度州都很大（例如，匈牙利在2014年的GDP為1371億美元，馬哈拉施特拉邦在同一年的GDP為2343億美元；數(shù)據(jù)根據(jù)當前匯率換算成美元），我們可以進行跨州比較。圖5顯示了狀態(tài)消費不等式與平均消費圖�；貧w系數(shù)為線性增長Y=mX+c，其中Y是基尼系數(shù)，Xis是人均消費支出。對于MPCE，m=2.986×10-5和c=0.285和F，m=2.074×10-5和c=0.245。該情節(jié)的一個非常有趣的特點是，它完全遵循庫茲涅茨的基本主張，即在經濟增長初期，越繁榮的國家應該越不平等。就印度而言，參考文獻[51]提出了關于和反對這種不平等動態(tài)發(fā)現(xiàn)的論點。盡管橫截面估計反駁了這一說法，但《時代周刊》的估計數(shù)字顯示了一些支持。在一般情況下，參考文獻[52]顯示了這種特征如何在一個非常s的內生動力學模型中出現(xiàn)，這取決于市場相關性與平均儲蓄率的相對強度。對不平等演變的進一步研究將有助于揭示數(shù)據(jù)與理論的一致程度。正如參考文獻[45]所強調的那樣，即使在發(fā)達經濟體，不平等也可能加劇，這取決于政策和廣泛的制度因素，因此，無論是在總量層面還是在州層面，預測印度經濟將走哪條道路都是一項非常重要的任務。六、 在解釋本節(jié)的結果時，我們提出了一個基本模型來理解經驗發(fā)現(xiàn)。

我們在這里提出的基本觀點是，各州的消費比例可以相對于平均收入或其他因素保持不變。另一個重要的觀點是，隨著平均消費（與收入高度相關）的增加，不平等普遍加劇。假設經濟體由J個島嶼組成，每個島嶼都是陸地，可以與一個國家或在當前的情況下，與印度的一個州進行識別。在每個島j上都有一系列的代理人I∈ J、 為簡單起見，假設I=[0，1]。每個代理都由i索引∈ 一、 時間是離散的。在每一個時間點，代理人都被賦予單位勞動力，這些勞動力在不同的工人中是不同的。他們不重視休閑，因此可以無彈性地提供勞動力。每個島嶼都有一個連續(xù)體，可以將勞動力與標準生產函數(shù)結合起來生產產出。j島的總生產水平為yj=zj【ZIξρijdi】1/ρ（12），其中zjis是土地特定的技術狀態(tài)，ξij是j狀態(tài)下第i個代理的勞動稟賦，ρ是生產函數(shù)中的一個參數(shù)。勞動稟賦是一個常數(shù)，歸一化為1，ξij=1。（13） 我們將假設技術跨越島嶼，因此通常zj6=zj′，其中j，j′∈ J、 企業(yè)利潤最大化，πJ=PjYj-ZIwijξijdi=zjPj[ZIξρijdi]1/ρ-ZIwijξijdi（14），其中Pjis是最終產品的價格，wjis是工資率。原則上，我們可以將一般價格水平標準化為統(tǒng)一價格水平，而不會失去任何概括性。第二個等式可以替換上述函數(shù)（等式14）中的生產函數(shù)（等式12）。通過選擇最佳勞動力數(shù)量，企業(yè)達到以下一階條件：ξij=Pjzjwij公司1.-ρYjzj。（15） 可以看出，一般價格水平只不過是工資率的綜合函數(shù)，Pj=z-1j[ZIwρ1-ρijdi]1-ρρ。（16） 給定勞動力需求方程（方程式。

15） ，平衡工資率可以通過勞動力市場清算條件（從等式13中可以回憶出，總捐贈為1）來確定。因此，在平衡中，第j島的GDP由yj=zj給出。（17） 由于數(shù)據(jù)是關于家庭消費支出的，我們必須對模型進行離散化。假設任何generichousehold h是一組試劑sh=[ph，ph）]，并且有N（N≥ 1） 每個島嶼的住戶數(shù)量j∈ J、 我們還將用N表示每個島上的家庭集合。對于第一個家庭，s=[0，p），對于最后一個家庭，N，sN=[pN，1]，在每個島和。為了保持清晰，假設任何代理都只能屬于一個家庭。因此∪H∈Nsh=I（18），其中，我們用N表示島上的家庭集合。在島上j∈ J、 總產量Yjis分配給N個家庭進行消費。顯然，hth家庭的貢獻（whj）為whj=zjZshφ（ξij）di（19），其中φ（ξij）表示代理人的勞動稟賦分配。最后，為了分割餡餅，即總產量，我們假設家庭從消費中獲得效用，并具有與其貢獻成比例的議價能力。這本質上是一種納什討價還價的局面。所得收入分配將由avector給出，我們用{vhj}h表示∈N、 A.絕對不平等考慮到收入比例{vhj}h∈因為沒有儲蓄，我們也可以輕松地降低絕對不平等的水平。最簡單的方法是考慮標準偏差，σj=sNXh∈N（vhj- hvhji）（20），其中h.i表示操作員的期望值。同樣，我們可以計算基尼系數(shù)或k指數(shù)。請注意，這解釋了擁有更好的技術對不平等的影響，下面將對此進行探討。在這里，應該提到的是，這個模型的建立方式，在收入和消費之間沒有區(qū)別。

因此，如果每個家庭都有完善的分享機制，任何收入沖擊都將轉化為總消費沖擊。在現(xiàn)實中，通常情況并非如此【8，53】。然而，我們保留這一假設，因為它使模型非常簡單，就目前而言，它支持假設沒有資產市場和家庭內的全部保險。B、 比較州一級的不平等考慮兩個島嶼1和2。島1具有基準技術水平，z=1。島2有一個更好的技術，z>z。那么很容易看出，如果所有其他東西在島上保持不變（生產力分布、家庭分布和生產函數(shù)），那么島2的收入/消費比例只是島1的一個版本。很容易證明，就標準差而言，不平等性會上升（見等式20）。因此，在方差或標準偏差方面，該模型解釋了日益嚴重的不平等�；�本原因是這些索引不是尺度不變的。也很容易看出，在這種正常化之后，這兩種消費比例是一致的。這解釋了歸一化后消費分布的變化（圖1）。任何相對不平等的衡量標準，即顯示零度同質性，都不應受到這種變化的影響。從本質上講，這反映了一種觀點，即各島嶼之間的相對不平等程度應保持不變，與收入的比例變化有關。這可能會帶來一個問題，因為在這種情況下，洛倫茲曲線不會改變，這意味著基尼系數(shù)也不會改變。因此，我們再介紹一種成分。

隨著更好的技術（z>z）增加了個人信息的規(guī)模，讓我們假設家庭收到隨機捐贈ehi~ 島i中的f（0，σi）∈ {1，2}其中f（.）具有明確矩的概率密度函數(shù)。為了規(guī)范化，我們假設σ=0，σ>σ。因此，我們得到了兩份收入報告。對于島1，文件保持不變{v′h1}h∈N={vh1}h∈Nand{v′h2}h∈N={vh2+eh2}h∈N、 讓我們用hvi和hvi來表示這兩個系列的平均值。然后，兩個歸一化序列{v′h1/hvi}和{vh2/hvi}具有相同的平均值，但后者是前者的平均壓力擴散，這立即意味著{v′h1/hvi}在二階隨機支配{v′h1/hvi}。因此，以下不等式適用于累積密度函數(shù)F（.），Zx公司-∞[F（v′）- F（v′）]dv′\'≥ 0 x（21），其中v′′=v/hvi。這立即意味著弗洛倫茲主導了F（參見參考文獻[35]），因此在基尼系數(shù)G方面，G>G。（22）這解釋了人均消費不平等的上升趨勢。七、總結與結論在本文中，我們以印度為例研究了不等式的空間不變性。我們分析了35個州和聯(lián)邦地區(qū)的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)還可用于不同種姓、宗教信仰和城鄉(xiāng)差距。本研究的主要發(fā)現(xiàn)是，在適當?shù)臍w一化下，分布會塌陷為單個分布。這揭示了不平等的靜態(tài)特征。特別是，這意味著各州在不平等方面的差異可能來自平均收入的差異。當這種影響發(fā)生時，傳播似乎相當穩(wěn)定。