通過有界回歸組合Alpha

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英文標題：
《Combining Alphas via Bounded Regression》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We give an explicit algorithm and source code for combining alpha streams via bounded regression. In practical applications typically there is insufficient history to compute a sample covariance matrix (SCM) for a large number of alphas. To compute alpha allocation weights, one then resorts to (weighted) regression over SCM principal components. Regression often produces alpha weights with insufficient diversification and/or skewed distribution against, e.g., turnover. This can be rectified by imposing bounds on alpha weights within the regression procedure. Bounded regression can also be applied to stock and other asset portfolio construction. We discuss illustrative examples.
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中文摘要：
我們給出了通過有界回歸組合alpha流的顯式算法和源代碼。在實際應(yīng)用中，通常沒有足夠的歷史來計算大量字母的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）。為了計算alpha分配權(quán)重，可以對SCM主成分進行（加權(quán)）回歸�；貧w通常會產(chǎn)生阿爾法權(quán)重，其多樣化和/或分布不均，例如營業(yè)額。這可以通過在回歸過程中對alpha權(quán)重施加邊界來糾正。有界回歸也可以應(yīng)用于股票和其他資產(chǎn)組合的構(gòu)建。我們討論示例。
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分類信息：

一級分類：Quantitative Finance        數(shù)量金融學(xué)
二級分類：Portfolio Management        項目組合管理
分類描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
證券選擇與優(yōu)化、資本配置、投資策略與績效評價
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一級分類：Quantitative Finance        數(shù)量金融學(xué)
二級分類：Risk Management        風(fēng)險管理
分類描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理貿(mào)易、銀行、保險、企業(yè)和其他應(yīng)用中的金融風(fēng)險
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關(guān)鍵詞：Alpha Pha Quantitative Insufficient Applications

通過有界回歸結(jié)合alpha Zura Kakushadze§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，Stamford，CT 06905+第比利斯自由大學(xué)商學(xué)院和物理學(xué)院240，David Agmashenebeli Alley，第比利斯，0159，喬治亞州（2015年1月7日；2015年10月22日修訂）摘要我們給出了結(jié)合alpha streamsvia有界回歸的顯式算法和源代碼。在實際應(yīng)用中，通常無法計算大量Alphas的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）。為了計算alpha分配權(quán)重，可以對SCM主成分進行（加權(quán)）回歸�；貧w通常會產(chǎn)生差異不足和/或分布不均的α權(quán)重，例如營業(yè)額。這可以通過在回歸過程中對α權(quán)重施加邊界來糾正。有界回歸也可以應(yīng)用于股票和其他資產(chǎn)組合的構(gòu)建。我們討論示例。關(guān)鍵詞：對沖基金、alpha流、alpha權(quán)重、投資組合周轉(zhuǎn)率、投資分配、加權(quán)回歸、多元化、界限、優(yōu)化、因子模型Szura Kakusha dze博士是Quantigicrolutions LLC的總裁，也是第比利斯自由大學(xué)的全職教授。電子郵件：zura@quantigic.comDISCLAIMER：此地址由相應(yīng)的作者使用，除了表明其在出版物中的專業(yè)職責(zé)外，沒有其他目的。特別是，本文內(nèi)容并非投資、法律、稅務(wù)或任何其他此類建議，也絕不代表Quantigic Solutions LLC網(wǎng)站www.Quantigic的觀點。或其任何其他聯(lián)系人。1簡介隨著技術(shù)的進步，阿爾法流的數(shù)量不斷增加。其中許多是曇花一現(xiàn)的，壽命相對較短。

因此，在實際應(yīng)用中，通常沒有足夠的歷史來計算大量alpha流的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）——SCM是奇異的。因此，在lpha投資組合優(yōu)化中直接使用SCM不是一種選擇。規(guī)避這一困難的一種方法是為alphastreams建立一個f因子模型[56]。由于alpha業(yè)務(wù)的高度保密性，此類f-actor模型必須在內(nèi)部構(gòu)建——沒有針對alpha流的“標準化”FactoryModel的商業(yè)提供商。與股票的因子模型一樣，Alpha的此類模型構(gòu)建需要一定的專業(yè)知識和時間開銷。因此，在實踐中，人們通常會采取更簡單的方法。正如【56】中更詳細地討論的那樣，可以對SCM進行變形，使其非奇異，然后將如此變形的SCM用于（例如）Alpha組合的夏普比率優(yōu)化。對于小變形，這將減少到阿爾法流預(yù)期回報的橫截面加權(quán)回歸[56]。綜合權(quán)重是字母的倒數(shù)示例方差。負荷矩陣的列（經(jīng)驗值返回重新回歸值）只不過是對應(yīng)于其正（即非消失）特征值的CM的前K個主分量【56】�；貧w通常會產(chǎn)生阿爾法權(quán)重，其多樣性不足和/或分布不均勻，例如營業(yè)額。因此，如果一些預(yù)期回報率下降，那么，盡管非均勻回歸權(quán)重（抑制更易波動的α），相應(yīng)的α權(quán)重可能會大于多樣性考慮所期望的。此外，主成分對營業(yè)額等數(shù)量一無所知。獲得更“全面”的投資組合組合的一個簡單方法是設(shè)置alpha權(quán)重的界限。

這就是我們在這里討論的方法。當(dāng)單個alpha流在單獨的執(zhí)行平臺上交易時，alpha權(quán)重為非負。通過在同一執(zhí)行平臺（我們在此采用的框架）上組合和交易多個alpha流，可以通過在不同alpha流之間進行內(nèi)部交叉交易來節(jié)省交易成本（與走向市場相對應(yīng)）。然后alpha權(quán)重可以為負。當(dāng)alpha權(quán)重可以同時取正值和負值時，邊界回歸問題就簡單了。它歸結(jié)為我們在第2節(jié)討論的一種迭代算法。這個算法hm實際上可以從一個優(yōu)化算法中派生出來，這里的“alpha”（遵循常見的交易者行話）通常意味著人們可能希望交易的任何合理的“預(yù)期回報”，不一定與“學(xué)術(shù)”alpha相同。在實踐中，通�？赡軣o法獲得有關(guān)alpha如何構(gòu)建的詳細信息，例如，唯一可用的數(shù)據(jù)可能是頭寸數(shù)據(jù)，因此“alpha”是一系列指令，用于在某些時間t，t。有關(guān)對沖基金知識的部分列表，請參見[1]-[20]以及其中的參考文獻。有關(guān)投資組合優(yōu)化和相關(guān)文獻的Partialist，請參見，例如，[21]-[55]及其參考文獻。糾正這種情況的一種方法是將基于營業(yè)額的因素添加到負荷矩陣中【56】。有關(guān)最近的討論，請參見[57]。在[58]中討論的邊界（在因子模型背景下），采用o優(yōu)化的回歸極限。我們還在附錄A中給出了有界回歸算法的R源代碼。附錄B包含一些法律術(shù)語。我們在第3節(jié)中得出結(jié)論，在第3節(jié)中，我們還討論了有界整合，交易成本如下【59】。2有界回歸2.1符號我們有N個αi，i=1，N、 每個α實際上是一個時間序列αi（ts），s=0，1。

，M，其中是最近的時間。αi以下指αi（t）。設(shè)Cijbe為N個時間序列αi（ts）的樣本協(xié)方差矩陣（SCM）。如果M<N，則只有M個Cijare非零的特征值，而其余的特征值“小”，這些值是通過計算舍入而扭曲的零。Alphasαi與權(quán)重wi相結(jié)合。任何杠桿都包括在αi的定義中，即如果給定的α由j標記∈ {1，…，N}在杠桿率為α′j（這是一個原始的、無杠桿的α）和相應(yīng)的杠桿率為Lj:1之前，我們定義αj≡ Ljα′j。根據(jù)這一定義，權(quán)重滿足條件nxi=1 | wi |=1（1）。在這里，我們允許權(quán)重為負值，因為我們感興趣的是阿爾法在同一執(zhí)行平臺上交易，并且阿爾法之間的交易是交叉的，所以我們實際上是在交易組合的阿爾法α≡PNi=1αiwi。2.2加權(quán)回歸當(dāng)SCM Cijis為單數(shù)且沒有其他矩陣（例如，因子模型）來替代它時，可以對SCM進行變形，使其非單數(shù)，然后使用所述變形SCM，例如，對Alpha組合進行夏普比率優(yōu)化[56]。對于小變形，這將減少到alphastream預(yù)期收益的橫截面加權(quán)回歸[56]�；貧w權(quán)重zi（不要與α權(quán)重wi混淆）是α：zi的逆樣本方差≡ 1/Cii。荷載矩陣的列∧iA，A=1，K、 對預(yù)期回報進行回歸的，只不過是SCMC的前K個主成分，對應(yīng)于其正（即非消失）特征值。然而，現(xiàn)在我們將保持∧iAgeneral（例如，人們可能希望在∧iA中包括其他風(fēng)險因素[56]）。實際上，這假設(shè)在任何alpha時間序列中都沒有N/As。

如果某些或所有LPHA時間序列以非均勻方式包含N/A，并且通過省略此類成對N/A來計算相關(guān)矩陣，則產(chǎn)生的相關(guān)矩陣可能具有負特征值，這些特征值不是由于計算舍入而扭曲的零。權(quán)重wi由：wi=γziεi（2）給出，其中εi是αiover∧iA（無截距，除非截距包含在∧iA中，即–見下文）與回歸權(quán)重zi的橫截面回歸殘差：εi=αi-NXj=1zjαjKXA，B=1∧iA∧jBQ-1AB（3），其中Q-1ABis是Qab的倒數(shù)≡NXi=1zi∧iA∧iB（4），通過（1）確定（2）中的總體事實rγ。請注意，我們有A.∈ {1，…，K}：NXi=1wi∧iA=0（5），因此，權(quán)重wi為中性w.r.t。由荷載矩陣∧iA列定義的風(fēng)險因素。2.3邊界由于權(quán)重wi可以有任意一個符號，我們將假設(shè)權(quán)重sw的上下限-我≤ wi公司≤ w+i（6）滿足條件SW-我≤ 0（7）w+i≥ 0（8）瓦-i<w+i（9）最后一個條件不是限制性的：如果對于一些用i標記的α，我們有w-i=w+i，那么我們可以簡單地設(shè)置wi=w-我將這個α從下面的有界回歸過程中完全排除。此外，如果出于任何原因，我們希望給定wi沒有上限/下限，我們可以簡單地設(shè)置w±i=±1。界限可用于多樣化目的：例如，人們可能希望要求α的權(quán)重不大于某個固定（�。┌俜治沪危�即| wi |≤ ξ、 所以w±i=±ξ。人們也可能希望抑制高營業(yè)額Alpha的貢獻，例如，通過要求| wi |≤eξifτi≥ τ*, 式中，τiis為營業(yè)額，τ*是一些營業(yè)額，而ξ是一些（�。┌俜治粩�(shù)。邊界也可用于限制低電容相位的權(quán)重。Etc.2.4運行有界回歸so，我們?nèi)绾卧诨貧w的上下文中施加界限？這里有兩個微妙之處。

首先，我們希望保留事實上的r中立性（5），它在同時重定標wi下是不變的→ ζwi（其中ζ為常數(shù)）。如果我們簡單地將一些值設(shè)置為它們的上界或下界，這通常會破壞縮放不變性，因此屬性（5）將丟失。其次，我們必須保持正規(guī)化條件（1）。事實上，正是這種歸一化條件允許有意義地設(shè)置邊界w±i，因為回歸本身并不能在（2）中獲得總體歸一化系數(shù)γ，這是由于重標度不變性wi→ ζwi。這里我們討論有界回歸算法。為了節(jié)省空間，我們跳過了后面的詳細推導(dǎo)，直接在因子模型的上下文中采用帶界優(yōu)化的回歸極限，這兩個都在[5-8]中進行了詳細討論。讓我們定義指數(shù)i的以下子集∈ J≡ {1, . . .

，N}：wi=w+i，i∈ J+（10）wi=w-i、 我∈ J-（11） J≡ J+∪ J-（12） eJ公司≡ J\\J（13）進一步，刪除αi≡ γαi（14）yA≡xi∈eJzieαi∧iA+Xi∈J+w+i∧iA+Xi∈J-w-i∧iA（15）此處營業(yè)額（每iod超過一個月，例如每日營業(yè)額）定義為比率τi≡ i在對應(yīng)的totaldollar holdings Ii（long plus shor t）上標記為d的阿爾法交易的總美元Di（多頭加空頭）的Di/Ii。亞太地區(qū)I*對于給定的α，我們指的是投資水平Ii的值，對于該投資水平，損益Pi（Ii）最大化（考慮非線性影響）。由于我們在這里考慮的回歸是用回歸權(quán)重zi=1/Cii進行加權(quán)的，這已經(jīng)控制了α波動的風(fēng)險敞口，因此，只有當(dāng)希望進一步抑制波動性α?xí)r，基于波動性施加界限才會產(chǎn)生差異。優(yōu)化的回歸極限本質(zhì)上等于極限ξi≡ ηeξi，η→ 0，eξi=固定，其中ξi是因子模型中的特定（特殊）風(fēng)險，因子載荷矩陣與回歸載荷矩陣∧iA（和K×K因子協(xié)方差矩陣在回歸極限中不重要）相同–詳情見【5 8】。其中γ將被確定（見下文）。那么我們有wi=zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！，我∈eJ（16）我∈ J+：zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≥ w+i（17）我∈ J-: zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≤ w-i（18）其中：-1是K×K矩陣的逆q:eQAB≡xi∈eJzi∧iA∧iB（19）這里的載荷矩陣∧i必須是Eq可逆的。另外，請注意，WI，i∈eJ由（1 6）給出，wi=w+i，i∈ J+和wi=w-i、 我∈ J-滿足（5），因為他們應(yīng)該滿足。注意，對于給定的γ值，（15）求解雅吉文J+和J-. 另一方面，（17）和（18）確定J+和J-就yA而言。然后迭代求解整個系統(tǒng)，其中在初始迭代時，取J（0）=J，因此J+（0）和J-（0）為空。然而，我們?nèi)匀恍枰獙Ζ眠M行fix。

這是通過一個單獨的操作過程完成的，我們將在下面描述。因為我們有兩次迭代，為了保證（快速）收斂，J±迭代（即對于給定的γ值）可以按如下方式進行。讓bw（s）這樣我∈ J：w-我≤ bw（s）i≤ w+i（20）A.∈ {1，…，K}：NXi=1bw（s）i∧iA=0（21），在（s+1）次迭代中，設(shè)w（s+1）ibe由（16）給出，用于i∈eJ（s），w（s+1）i=w±i或i∈ J±（s）。該解滿足（5），但可能不滿足邊界。樂琪≡ w（s+1）i- bw（s）i（22）hi（t）≡ bw（s）i+t qi，t∈ [0，1]（23）然后bw（s+1）i≡ 高（t*) = bw（s）i+t*qi（24）如果∧Ia的列由CM Cijcorres的前K個主成分組成，則為正特征值。然而，如上所述，我們將荷載矩陣保持為通用。其中t*是t的最大值，使得hi（t）滿足界限。我們有：qi>0：pi≡ 最小值w（s+1）i，w+i（25）qi<0:pi≡ 最大值w（s+1）i，w-我（26）t*= 明皮- bw（s）iqiqi6=0，i∈ J（27）現(xiàn)在，在每個步驟中，我們可以通過我∈ J+（s+1）：bw（s+1）i=w+i（28）我∈ J-（s+1）：bw（s+1）i=w-i（29），其中bw（s+1）i按上述方式迭代計算，我們可以取bw（0）i≡ 初始化迭代時為0。與（17）和（18），（28）和（29）不同，在每次迭代中，向J±一個（或幾個）元素添加新元素。收斂準則由J+（s+1）=J+（s）（30）J給出-（s+1）=J-（s） （31）這些標準基于離散量，不受計算（機器）精度影響。然而，在實踐中，（28）和（29）中的等式在一定公差（或機器精度）范圍內(nèi)理解–見附錄a中的R代碼。

我們將通過ewi在最終迭代中表示bw（s+1）iat的值（對于給定的γ值）。最后，通過另一個迭代程序確定γ，如下所示（我們使用上標a表示γ迭代，以區(qū)別于用于J±迭代的上標s）：γ（a+1）=γ（a）PNi=1ew（a）i（32）式中，ew（a）iis按上述公式計算，γ=γ（a）。為了實現(xiàn)快速收斂，初始值γ（0）可以設(shè)置如下：γ（0）=PNi=1zi |εi |（33），其中εi是（3）給出的加權(quán)回歸（無界）的殘差。γ迭代的收斂準則由γ（a+1）=γ（a）（34）給出，在一些預(yù)設(shè)的計算公差（或機器精度）內(nèi)理解。附錄A中給出了上述算法hm的R代碼以及一些額外的解釋性文檔。請注意，該代碼不是為了“花哨”或以任何其他方式優(yōu)化速度而編寫的。相反，它的唯一目的是以一種簡單易懂的方式演示上述有界回歸算法。附錄B.2.5《股票投資組合的應(yīng)用》中給出了與該代碼相關(guān)的一些法律術(shù)語。我們在計算lpha流投資組合權(quán)重的背景下討論了有界回歸算法。然而，該算法非常通用，并且通過適當(dāng)?shù)姆�號識別，可以應(yīng)用于股票或其他合適工具的投資組合。事實上，它也可以在金融之外應(yīng)用。在這里，為了明確起見，我們將重點關(guān)注股票投資組合，事實上，我們將假設(shè)它們是美元中性的，因此允許多頭和空頭頭寸。2.5.1建立交易Let us首先討論建立交易，即我們從零頭寸開始，建立N只股票的投資組合。我們的索引i∈ {1，…，N}≡ J現(xiàn)在標記股票。