a中高頻專家意見的漸近濾波行為

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英文標(biāo)題：
《Asymptotic Filter Behavior for High-Frequency Expert Opinions in a
  Market with Gaussian Drift》
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作者：
Abdelali Gabih, Hakam Kondakji, Ralf Wunderlich
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper investigates a financial market where stock returns depend on a hidden Gaussian mean reverting drift process. Information on the drift is obtained from returns and expert opinions in the form of noisy signals about the current state of the drift arriving at the jump times of a homogeneous Poisson process. Drift estimates are based on Kalman filter techniques and described by the conditional mean and covariance matrix of the drift given the observations. We study the filter asymptotics for increasing arrival intensity of expert opinions and prove that the conditional mean is a consistent drift estimator, it converges in the mean-square sense to the hidden drift. Thus, in the limit as the arrival intensity goes to infinity investors have full information about the drift.
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中文摘要：
本文研究了一個(gè)股票收益率依賴于隱式高斯均值回復(fù)漂移過程的金融市場。關(guān)于漂移的信息是從返回值和專家意見中獲得的，這些信息是關(guān)于到達(dá)齊次泊松過程跳躍時(shí)間的漂移當(dāng)前狀態(tài)的噪聲信號。漂移估計(jì)基于卡爾曼濾波技術(shù)，由給定觀測值漂移的條件均值和協(xié)方差矩陣描述。我們研究了增加專家意見到達(dá)強(qiáng)度的濾波器漸近性，證明了條件均值是一致漂移估計(jì)量，它在均方意義下收斂于隱藏漂移。因此，在到達(dá)強(qiáng)度達(dá)到無窮大的極限范圍內(nèi)，投資者擁有關(guān)于漂移的全部信息。
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分類信息：

一級分類：Quantitative Finance        數(shù)量金融學(xué)
二級分類：Mathematical Finance        數(shù)學(xué)金融學(xué)
分類描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的數(shù)學(xué)和分析方法，包括隨機(jī)、概率和泛函分析、代數(shù)、幾何和其他方法
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一級分類：Quantitative Finance        數(shù)量金融學(xué)
二級分類：Portfolio Management        項(xiàng)目組合管理
分類描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
證券選擇與優(yōu)化、資本配置、投資策略與績效評價(jià)
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PDF下載：
--> Asymptotic_Filter_Behavior_for_High-Frequency_Expert_Opinions_in_a_Market_with_G.pdf (960.05 KB)

2022-6-11 06:09:27 上傳

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關(guān)鍵詞：專家意見 Quantitative Mathematical observations Optimization

Abdelali Gabih、Hakam Kondakji和Ralf Wunderlich在具有高斯漂移的市場中對高頻專家意見的漸近濾波行為摘要：本文研究了一個(gè)金融市場，其中股票收益取決于一個(gè)隱藏的高斯曼回復(fù)漂移過程。關(guān)于漂移的信息是從返回和專家意見中獲得的，這些信息是關(guān)于到達(dá)齊次泊松過程跳躍時(shí)間的漂移當(dāng)前狀態(tài)的噪聲信號。漂移估計(jì)基于卡爾曼濾波技術(shù)，由給定觀測值漂移的條件均值和協(xié)方差矩陣描述。我們研究了提高專家意見到達(dá)靈敏度的濾波器漸近性，并證明了條件均值是一致漂移估計(jì)量，它在均方意義下收斂于隱藏漂移。因此，在到達(dá)強(qiáng)度達(dá)到極限時(shí)，投資者擁有關(guān)于漂移的完整信息。關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波、Ornstein-Uhlenbeck過程、部分信息、專家意見、BlackLitterman模型、貝葉斯更新MSC:Primary 93E11；次要60F17，60G351簡介在本文中，我們研究了一個(gè)金融市場的隱藏高斯模型（HGM），其中資產(chǎn)價(jià)格遵循一個(gè)由OrnsteinUhlenbeck過程建模的不可觀察的高斯均值回復(fù)漂移的擴(kuò)散過程。這類模型廣泛應(yīng)用于部分信息漂移下的投資組合優(yōu)化問題的研究。漂移有兩種流行的模型類，上面提到的HGM和隱馬爾可夫模型（HMM），其中漂移過程是一個(gè)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈。對于HGM下的效用最大化問題，我們參考了Lakner【15】和Brendle【4】，而HMM則用于Rieder和B"auelle【18】，Sass和Haussmann【20】。Putschogl和Sass研究了這兩種模型【17】。

Bj"ork等人[1]對這些方法進(jìn)行了概括，并提供了更多參考文獻(xiàn)。為了解決部分信息下的投資組合問題，必須根據(jù)股票收益等可觀察等式來估計(jì)漂移。對于上述兩個(gè)模型，HGM和HMM，給定返回觀測值的漂移過程的條件分布可以完全用有限維濾波過程描述。這允許有效解決投資組合問題，包括計(jì)算optiAbdelali Gabih：信息與數(shù)學(xué)與leurs應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室（LIMA），ChouaibDoukkali大學(xué)理學(xué)院，El Jadida 24000，摩洛哥，a。gabih@uca.maHakamKondakji：勃蘭登堡理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)研究所Cottbus-Senftenberg，郵政信箱101344，03013 Cottbus，Germany，hakam。kondakji@b-tu.deRalf Wunderlich：勃蘭登堡理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究所Cottbus-Senftenberg，郵政信箱1013443013 Cottbus，Germany，ralf。wunderlich@b-作者感謝Dorothee Westphal和J"orn Sass（tu Kaiserslautern）進(jìn)行了有價(jià)值的討論，改進(jìn)了本文。2 Gabih，Kondakji和Wunderlich，《高頻專家意見的漸近濾波行為》，標(biāo)準(zhǔn)政策。對于HGM和HMM，有限維濾波器分別稱為Kalman和Wonham濾波器，參見Elliott、Aggoun和Moore【8】，Liptser和Shiryaev【16】。眾所周知，擴(kuò)散過程的漂移尤其難以估計(jì)。即使是對恒定漂移的估計(jì)，也需要在非常大的時(shí)間范圍內(nèi)獲得經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，見羅杰斯【19，第4.2章】。因此，在實(shí)踐中，根據(jù)歷史價(jià)格觀察值計(jì)算的過濾器導(dǎo)致漂移估計(jì)的精度非常低，因?yàn)槠�移往往隨時(shí)間隨機(jī)波動，漂移效應(yīng)被波動性掩蓋。

同時(shí)，動態(tài)投資組合優(yōu)化中的最優(yōu)投資策略在很大程度上取決于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格過程的漂移。出于這些原因，從業(yè)者還利用外部信息來源，如新聞、公司報(bào)告、評級或他們自己對未來資產(chǎn)績效的直觀看法，來構(gòu)建最佳投資組合策略。這些外部信息來源稱為專家意見。這一想法可以追溯到著名的黑人垃圾箱模型，該模型是經(jīng)典的一個(gè)時(shí)期馬科維茨模型的延伸，參見布萊克和垃圾箱[2]。它使用BayesianUpdate改進(jìn)漂移估計(jì)。與經(jīng)典的靜態(tài)單期模型相反，我們考慮的是資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)時(shí)間模型，其中以專家意見形式出現(xiàn)的附加信息會隨著時(shí)間的推移反復(fù)出現(xiàn)。Davis和Lleo【7】將這種方法稱為“連續(xù)時(shí)間內(nèi)的黑人同窩人”（BLCT）。BLCTare-Frey等人（2012）[9]的第一篇論文及其后續(xù)論文[10]。他們考慮了到達(dá)泊松過程跳躍時(shí)間的漂移和經(jīng)驗(yàn)粒子的HMM，并研究了終端財(cái)富的預(yù)期功率效用的最大化。對于只有一只風(fēng)險(xiǎn)股票的市場，Gabih等人【11】研究了在固定和已知時(shí)間得出的HGM和專家意見，而Sass等人【21】研究了多只風(fēng)險(xiǎn)股票的市場。在這里，作者考慮對數(shù)效用的最大化。DavidAnd Lleo【6，7】考慮在HGM和專家意見持續(xù)不斷的情況下，BLCT實(shí)現(xiàn)電力效用最大化。這就為投資組合優(yōu)化問題提供了非常明確的解決方案。在文獻(xiàn)[7]中，作者還關(guān)注專家意見模型與真實(shí)數(shù)據(jù)的校準(zhǔn)。在最近的一篇論文中，Sass等人。

[22]考慮在固定和隨機(jī)信息日期都有專家意見的HGM，并研究過濾器的漸近行為，以增加專家意見的到達(dá)頻率。他們認(rèn)為，只有以準(zhǔn)確性為代價(jià)，才能獲得更高頻率的專家意見。特別是，專家意見的方差隨到達(dá)頻率呈線性增長。這一假設(shè)反映了投資者不可能在一段時(shí)間內(nèi)獲得無限的信息。此外，它還可以發(fā)現(xiàn)某種漸近行為，從而為投資者觀察離散時(shí)間專家意見時(shí)提供合理的過濾近似值，這些意見的強(qiáng)度是固定且充分的。作者推導(dǎo)了極限定理，該定理表明，從觀察高頻離散時(shí)間專家意見獲得的信息與從觀察某個(gè)與返回過程具有相同漂移的擴(kuò)散過程獲得的信息是漸近相同的。后一個(gè)過程可以解釋為連續(xù)時(shí)間專家，它可以永久地提供有關(guān)漂移的噪聲信息。這些所謂的效應(yīng)近似表明，Davis和Lleo的BLCT模型（他們處理連續(xù)時(shí)間專家意見）是如何作為離散時(shí)間專家BLCT模型的一個(gè)極限而獲得的。本論文可被視為上述Sass等人工作的配套論文。[22]. 然而，與[22]相反，我們假設(shè)當(dāng)?shù)竭_(dá)強(qiáng)度增加時(shí)，由其方差表示的專家可靠性仍然有界。為了簡單起見，我們僅限于恒常變化的情況。

這導(dǎo)致了與大數(shù)定律相對應(yīng)的不同的漸近區(qū)域，而[22]中的結(jié)果是函數(shù)中心極限定理的意義。當(dāng)?shù)竭_(dá)強(qiáng)度增加時(shí)，投資者會收到越來越多關(guān)于相同精度漂移當(dāng)前狀態(tài)的噪聲信號。然后，預(yù)計(jì)在極限值內(nèi)，漂移估計(jì)完全準(zhǔn)確，等于實(shí)際漂移，即投資者擁有關(guān)于漂移的完整信息。雖然估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)一致性似乎直觀明了，但嚴(yán)格的證明是一個(gè)開放的問題，本文將對此進(jìn)行討論。Gabih等人【11】和Sass等人【21】僅針對固定和已知信息日期的情況提供此類證據(jù)。然而，他們的結(jié)果和方法不能應(yīng)用于具有隨機(jī)信息日期的當(dāng)前模型。請注意，【22】中用于證明差異限制的方法并不適用于目前固定專家可靠性的情況。據(jù)我們所知，證明趨同的技術(shù)是對文學(xué)的新貢獻(xiàn)。與[11]Gabih、Kondakji和Wunderlich相比，高頻專家意見3和[21]的漸近濾波行為不僅給出了嚴(yán)格的收斂性證明，而且我們還能夠確定收斂速度并給出估計(jì)誤差的顯式界。本文主要研究基于卡爾曼濾波技術(shù)的漂移估計(jì)的漸近性質(zhì)，漂移估計(jì)由給定觀測值的漂移的條件均值和協(xié)方差矩陣描述。我們表明，隨著專家意見到達(dá)強(qiáng)度的增加，條件協(xié)方差的期望值趨于零。這意味著條件均值是一個(gè)一致漂移估計(jì)量，它在均方意義下收斂于隱藏漂移。

我們期望這些收斂結(jié)果會延續(xù)到投資組合優(yōu)化問題的值函數(shù)中，但本文不包括這些研究。對于期望對數(shù)效用的最大化，值函數(shù)的收斂性已在Sass等人中得到證實(shí)。電力公司的情況將在我們的后續(xù)文件中討論【12】。本文組織如下：在第2節(jié)中，我們介紹了我們的金融市場模型，包括專家意見和針對不同信息來源投資者的明確信息制度。對于每一種信息體制，我們在第3節(jié)中陳述了相應(yīng)條件均值和條件方差過程的動力學(xué)。第4節(jié)包含了我們的主要貢獻(xiàn)，并研究了增加離散時(shí)間專家意見到達(dá)強(qiáng)度的漸近濾波器行為。首先，引理4.2給出了條件協(xié)方差過程半鞅表示中漂移項(xiàng)的估計(jì)。基于此估計(jì)，定理4.3表明，隨著到達(dá)強(qiáng)度的增加，條件協(xié)方差的期望值變?yōu)榱�。因此，定�?.6說明了條件平均值對隱藏漂移的均方收斂性。在第5節(jié)中，我們研究了離散時(shí)間專家意見的離散近似情況下出現(xiàn)的連續(xù)時(shí)間專家意見的相關(guān)問題。第6節(jié)通過一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明了收斂結(jié)果。在附錄A中，我們收集了一些主要定理所需的輔助結(jié)果和技術(shù)證明。符號在本文中，我們使用符號Id對于R中的單位矩陣d×d. 對于非對稱和正半限定矩陣A ∈ Rd×d我們稱之為對稱正半定矩陣B ∈ Rd×d的平方根A 如果B= A.

平方根是唯一的，將用A.對于向量X 我們用‖表示X‖ 歐幾里德標(biāo)準(zhǔn)。對于方形矩陣A 我們用‖表示A‖ 代理矩陣范數(shù)，按‖A‖F(xiàn)=i,j(Aij)Frobenius標(biāo)準(zhǔn)和tr(A) =iAii的痕跡A.2金融市場2.1價(jià)格動態(tài)該設(shè)置基于Gabih等人【11】和Sass等人【21、22】。對于固定日期T > 0表示投資范圍，我們在過濾概率空間（Ω，G, GP ), 過濾G=(Gt)t∈[0,T ]滿足通常條件。假設(shè)所有過程都是G適應(yīng)的。我們考慮一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)債券的市場模型，該債券具有恒定的無風(fēng)險(xiǎn)利率和d 風(fēng)險(xiǎn)證券，其返回過程R = (R, . . . , Rd) 定義人dRt= μtdt + σRdWRt, （2.1）對于給定d-維G-適應(yīng)布朗運(yùn)動WR具有d≥ d. 恒定波動率矩陣σR∈ Rd×d假設(shè)∑R:= σRσR為正定義。在此設(shè)置中，價(jià)格過程S = (S, . . . , Sd) 風(fēng)險(xiǎn)證券的dSt= diag(St) dRt. （2.2）4 Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高頻專家意見的漸近濾波行為》注意，我們可以寫下Sit= 日志si+tμisds +dj=1.σijRWR,jt-(σijR)t= 日志si+ Rit-dj=1(σijR)t, i = 1.d. （2.3）我們有等式GR= 格洛格S= GS, 通用流程的位置X 我們用G表示X過濾產(chǎn)生于X. 這很有用，因?yàn)樗�允許R 而不是S 在過濾部分。漂移過程的動力學(xué)μ = (μt)t∈[0,T ]在（2.1）中，由隨機(jī)微分方程（SDE）給出dμt= κ(μ - μt)dt + σμdWμt, （2.4）其中κ ∈ Rd×d, σμ∈ Rd×d和μ ∈ Rd是常數(shù)，使得矩陣κ 和∑μ:= σμσμA積極定義，以及Wμ是一個(gè)d-獨(dú)立于WR具有d≥ d. 在這里μ 是平均回復(fù)水平，κ 平均回復(fù)速度和σμ描述了μ.

初始值μ假設(shè)為正態(tài)分布隨機(jī)變量，獨(dú)立于Wμ和WR平均值m∈ Rd和協(xié)方差矩陣q∈ Rd×d假設(shè)為對稱正半定義。眾所周知，SDE（2.4）具有閉式解μt= μ + e-κt(μ- μ) +teκsσμdWμs, t ≥ 0。（2.5）這是一個(gè)高斯過程，稱為Ornstein-Uhlenbeck過程。它具有均值和協(xié)方差函數(shù)[μt] = μ + e-κt(m- μ) andCov公司(μs, μt) = e-κsq+最小值{s,t}eκuΣμeκudue-κt, s, t ≥ 0.2.2專家意見我們假設(shè)投資者觀察回報(bào)過程R 但他們既不觀察因子過程μ 諾斯布朗運(yùn)動WR. 但是，他們知道模型參數(shù)，例如σR, κ, μ, σμ以及分布N(m, q) 初始值的μ. 有關(guān)漂移的信息μ 可以從觀察返回中提取R. 我們模型的一個(gè)特點(diǎn)是，投資者還可以通過專家意見（如新聞、公司報(bào)告、評級或他們自己對未來資產(chǎn)表現(xiàn)的直覺觀點(diǎn)）的形式獲得有關(guān)漂移的其他信息。專家意見提供了關(guān)于到達(dá)離散時(shí)間點(diǎn)的漂移當(dāng)前狀態(tài)的噪聲信號Tk. 我們通過標(biāo)記點(diǎn)過程對這些專家意見進(jìn)行建模(Tk, Zk)k, 所以在Tk投資者觀察隨機(jī)向量的實(shí)現(xiàn)Zk其分布取決于當(dāng)前狀態(tài)μTk漂移過程。到達(dá)日期Tk被建模為具有強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)泊松過程的跳躍時(shí)間λ > 0，與兩個(gè)布朗運(yùn)動無關(guān)WR, WJ和漂移的初始值μ, 因此，信息到達(dá)的時(shí)間不會攜帶任何關(guān)于漂移的有用信息。

為了方便起見，我們還寫了T:= 0盡管當(dāng)時(shí)沒有專家意見t = 0、當(dāng)時(shí)的信號或“專家意見”Tk由R建模d-值高斯隨機(jī)向量Zk= (Zk, ··· , Zdk)具有Zk= μTk+ Γεk, k = 1, 2, . . . , （2.6）Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高頻專家意見的漸近濾波行為》，其中矩陣�！� Rd×d是對稱的正定義。此外(εk)k≥1是一系列獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)向量，即。，εk~ N(0, Id). 它也獨(dú)立于布朗運(yùn)動WR, Wμ, 初始值μ以及到達(dá)日期(Tk)k≥這意味著μTk, 專家小齒輪Zk是N(μTk, Γ）-分布式。所以Zk可以認(rèn)為是對當(dāng)時(shí)漂移未知狀態(tài)的無偏估計(jì)Tk. 矩陣Γ是專家可靠性的度量。在具有的模型中d = 1risky assetΓ只是專家當(dāng)時(shí)對漂移估計(jì)的方差Tk: 越大越不可靠的是專家。請注意，也可以考慮相對專家意見，其中專家對兩種股票漂移的差異進(jìn)行估計(jì)，而不是絕對意見。Sch"ottle等人[23]對這種擴(kuò)展進(jìn)行了研究，其中作者展示了如何通過選擇矩陣在這兩種模型之間切換以獲得專家意見。最后，我們介紹了隨著時(shí)間的推移不斷出現(xiàn)的專家意見。這是由Sass等人的研究結(jié)果推動的。在那里，作者考慮了從觀察專家意見的某些序列中獲得的信息，并表明，對于大量專家意見來說，它與觀察另一個(gè)分歧過程所得到的信息基本相同。對這一差異過程的解釋是專家提供了關(guān)于漂移狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間估計(jì)。