《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》由任廣千和胡翠芳編著

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線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù) (任廣千, 胡翠芳) (Z-Library).pdf (3.19 MB, 需要: 5 個論壇幣)

2024-8-3 02:09:33 上傳

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《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》是由任廣千和胡翠芳編著的一本關(guān)于線性代數(shù)幾何意義的書籍。該書主要通過向量的概念，對國內(nèi)高校工科“線性代數(shù)”的課程內(nèi)容進(jìn)行了全面的幾何分析。

書中從向量的幾何意義開始，詳細(xì)講述了向量組、向量空間、行列式、矩陣、線性方程組和二次型的幾何意義或幾何解釋，并且其中不乏重要概念的物理意義的解釋。全書共分為七章，圖文并茂，思路清晰、語言流暢，具有通俗性和科普性。

此外，該書還使用了大量的圖解來幫助讀者更好地理解復(fù)雜的線性代數(shù)概念，使得抽象的數(shù)學(xué)理論更加直觀易懂。例如，在討論行列式的幾何意義時，作者們強調(diào)了其在幾何變換中的應(yīng)用，如面積和體積的變化等。

值得注意的是，《線性代數(shù)的幾何意義》不僅適用于工科學(xué)生，也適合對線性代數(shù)有深入興趣的讀者閱讀。它通過幾何的角度重新審視線性代數(shù)，探索那些隱藏在公式背后的幾何意義和物理意義，以及它們在現(xiàn)實世界中的應(yīng)用。

總之，《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》是一本結(jié)合了理論與實踐、幾何與代數(shù)的優(yōu)秀教材，對于希望深入了解線性代數(shù)幾何意義的讀者來說，是一本不可多得的好書.

#### 《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》中有哪些具體的向量組、向量空間的幾何解釋例子？

《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》中包含了一些具體的向量組和向量空間的幾何解釋例子。這些例子通過直觀的圖形和動畫來展示復(fù)雜的概念，使讀者更容易理解和掌握。

1. **二維向量、三維向量和四維向量**：書中介紹了不同維度的向量，并用動畫形式展示了它們在空間中的表現(xiàn)。
2. **列向量的線性組合**：例如，討論了列向量的線性組合能否覆蓋整個三維向量空間的問題，這是通過具體的例子進(jìn)行說明的。
3. **基向量和過渡矩陣**：給出了R^4空間中兩組基的定義和形式，并求出由基(II)到基(I)的過渡矩陣，以及一個特定向量在該過渡矩陣下的值。
4. **線性方程組的解空間**：通過證明矩陣乘法和向量加法規(guī)則，得出向量集的交集也是一個子空間，從而解釋了線性方程組的解空間。
5. **線性獨立的向量組構(gòu)成向量空間**：通過舉例說明了線性獨立的向量組可以構(gòu)成一個向量空間，并討論了矩陣空間的關(guān)系。



#### 該書是如何通過行列式和矩陣的幾何意義來解釋線性方程組的？

該書通過行列式和矩陣的幾何意義來解釋線性方程組，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1. **行列式的幾何意義**：行列式在幾何上可以表示為多維空間中平行四邊形或平行六面體的體積。例如，對于二階行列式，其值等于兩個向量構(gòu)成的平行四邊形的面積。這種幾何解釋有助于理解行列式在解決線性方程組中的作用，特別是判斷方程組是否有唯一解的問題。

2. **矩陣與線性變換**：矩陣是線性變換的工具，而行列式則是這些變換的縮影。通過矩陣的初等變換（如行交換、行倍乘等），可以將增廣矩陣化簡為階梯形矩陣，從而求解線性方程組。這種方法不僅直觀地展示了線性方程組的結(jié)構(gòu)，還揭示了其解的幾何性質(zhì)。

3. **Cramer法則**：Cramer法則是一種利用行列式求解線性方程組的方法，特別適用于方陣的情況。該方法通過計算每個變量對應(yīng)的行列式來找到解，這進(jìn)一步體現(xiàn)了行列式的幾何意義。

4. **線性空間與解集的幾何結(jié)構(gòu)**：線性方程組的解集在幾何上可以表示為某個向量空間的子空間。例如，齊次線性方程組的解集是一個向量空間，其基礎(chǔ)解系描述了所有可能解的空間分布。通過矩陣和行列式的理論，可以更深入地理解這種幾何結(jié)構(gòu)。

5. **逆矩陣的應(yīng)用**：行列式還可以用于計算矩陣的逆矩陣，進(jìn)而求解線性方程組。例如，如果一個方陣A的行列式不為零，則其逆矩陣A^-1存在，并且可以通過特定公式計算出來。這不僅提供了求解線性方程組的一種有效手段，也加深了對矩陣和行列式關(guān)系的理解。



#### 在《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》中，二次型的幾何意義具體包括哪些內(nèi)容？

在《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》中，二次型的幾何意義具體包括以下內(nèi)容：

1. **基本圖形**：對于一個二次型 $ax^2 + bxy + cy^2 = 1$，其幾何圖形可以是橢圓、雙曲線或其他形狀。例如，當(dāng)系數(shù)滿足特定條件時，這個方程可能表示一個標(biāo)準(zhǔn)的橢圓或雙曲線。

2. **正定性和負(fù)定性**：實二次型的正定性和負(fù)定性有明確的幾何意義。如果對于任意非零向量 $X$ 恒有 $f(X)^TAX > 0$，則稱該二次型為正定的；若恒有 $f(X)^TAX < 0$ 則為負(fù)定的；若恒有 $f(X)^TAX \geq 0$ 則為半正定的；若恒有 $f(X)^TAX \leq 0$ 則為半負(fù)定的。從幾何角度來看，二元和三元正定二次型對應(yīng)的圖形分別是橢圓和橢球面。

3. **極值問題**：二次型在優(yōu)化問題中的應(yīng)用也體現(xiàn)了其幾何意義。通過研究二次型的性質(zhì)，可以找到函數(shù)的極大值和極小值，并且這些極值點與矩陣的特征值密切相關(guān)。

4. **標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形**：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形是理解其幾何意義的重要工具。通過對二次型進(jìn)行配方法化處理，可以將其轉(zhuǎn)化為更簡單的形式，從而更容易地分析其幾何特性。

5. **對稱矩陣與梯度**：對稱矩陣的純二次型及其表達(dá)式在幾何上具有重要意義。非對稱矩陣的梯度為零的情況以及駐點（即特征值）與矩陣的關(guān)系也是研究二次型幾何意義的重要方面。

《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》中關(guān)于二次型的幾何意義主要涵蓋了基本圖形、正定性和負(fù)定性的幾何解釋、極值問題的應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形的轉(zhuǎn)換以及對稱矩陣與梯度的相關(guān)內(nèi)容。

#### 該書中提到的行列式的物理意義是什么，它在幾何變換中的應(yīng)用有哪些實例？

行列式在幾何變換中的物理意義主要體現(xiàn)在其能夠衡量線性變換對空間體積或面積的影響。具體來說，一個矩陣的行列式（detA）幾何意義上代表了變換后的輸出區(qū)域的面積與變換前的輸入?yún)^(qū)域的面積之比。如果行列式的值為正，則表示變換保持了方向；如果行列式為負(fù)，則表示變換改變了方向；而當(dāng)行列式為零時，表示變換將空間“拍扁”，即體積被壓縮到零。

在幾何變換中，行列式的應(yīng)用實例包括：

1. **二維平面的面積變化**：例如，考慮一個矩陣A，它表示一個二維平面上的線性變換。行列式det(A)可以用來計算變換后平行四邊形的面積與原平行四邊形面積的比例。這在計算機圖形學(xué)中非常有用，比如在進(jìn)行圖像縮放、旋轉(zhuǎn)等操作時需要計算新的圖形面積。

2. **三維空間的體積變化**：行列式同樣適用于三維空間中的線性變換。例如，在三維空間中，行列式可以用來計算由線性變換引起的平行六面體的體積變化。這在三維建模和計算機圖形學(xué)中非常重要，因為這些領(lǐng)域經(jīng)常需要處理復(fù)雜的形狀和體積變化。

3. **正交變換和反演**：在三維空間中，正交變換（如旋轉(zhuǎn)）和反演（如鏡像）都可以通過行列式來分析。正交變換的行列式總是1或-1，表示變換不改變體積或僅改變方向；而反演的行列式為-1，表示鏡像變換。

4. **特征值分析**：行列式在特征值分析中有重要應(yīng)用。一個矩陣的行列式等于其所有特征值的乘積，因此可以通過行列式判斷矩陣是否可逆以及特征值的符號。



#### 針對非工科背景的讀者，《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》提供了哪些易于理解的概念和概念解釋？

《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》為非工科背景的讀者提供了許多易于理解的概念和概念解釋，主要通過動畫和直觀的幾何圖形來幫助讀者輕松掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論。以下是一些具體的例子：

1. **向量的基本概念**：書中以動畫形式展示了向量的大小和方向，使讀者能夠直觀地理解向量相等的條件。

2. **行列式、滿秩、線性無關(guān)等概念**：這些抽象的數(shù)學(xué)概念在書中都通過幾何意義進(jìn)行解釋，例如行列式不為零表示矩陣可逆，這可以類比為一個平行四邊形的面積不為零，從而直觀地理解其幾何含義。

3. **幾何向量及其應(yīng)用**：通過具體的平面和三維空間中的例子，將抽象的向量概念具體化，幫助讀者從實際生活中找到線性代數(shù)的應(yīng)用場景。

4. **矩陣的幾何意義**：書中詳細(xì)介紹了矩陣如何表示幾何變換，如旋轉(zhuǎn)、縮放和平移等，并通過動畫展示這些變換的效果，使讀者更容易理解和記憶。

5. **特征值問題**：通過解釋特征值和特征向量的幾何意義，例如如何影響向量的方向和長度，使得讀者能夠更直觀地理解這一復(fù)雜概念。

6. **二次型和線性空間**：書中通過幾何圖形解釋了二次型的正定性以及線性空間的概念，幫助讀者理解這些高階概念的幾何背景。

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關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 何意義 不可多得的好書 Cramer 線性方程組

sailorhero 發(fā)表于 2024-8-3 02:12
《線性代數(shù)的幾何意義--圖解線性代數(shù)》是由任廣千和胡翠芳編著的一本關(guān)于線性代數(shù)幾何意義的書籍。該書 ...

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論壇里好像有這本書！沒記錯的是 hylpy1 分享的！

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