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An Introduction To Linear Algebra
Kenneth Kuttler
April 2, 2010
Contents
1 Preliminaries 9
1.1 The Number Line And Algebra Of The Real Numbers . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Ordered ¯elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 The Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Completeness of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Well Ordering And Archimedian Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Division And Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Systems Of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.11 Algebra in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13 The Inner Product In Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Matrices And Linear Transformations 33
2.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 The ijth Entry Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 A Cute Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Properties Of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.4 Finding The Inverse Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Subspaces And Spans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 An Application To Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6 Matrices And Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.1 The Coriolis Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.2 The Coriolis Acceleration On The Rotating Earth . . . . . . . . . . . 63
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Determinants 73
3.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 The Mathematical Theory Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.2 The De¯nition Of The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.3 A Symmetric De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Row Operations 105
4.1 Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 The Rank Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 The Row Reduced Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4 Rank And Existence Of Solutions To Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5 Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Some Factorizations 123
5.1 LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Finding An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Solving Linear Systems Using An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4 The PLU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5 Justi¯cation For The Multiplier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6 Existence For The PLU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7 The QR Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 Linear Programming 137
6.1 Simple Geometric Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 The Simplex Tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3 The Simplex Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3.1 Maximums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3.2 Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 Finding A Basic Feasible Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7 Spectral Theory 159
7.1 Eigenvalues And Eigenvectors Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2 Some Applications Of Eigenvalues And Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . 167
7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4 Shur's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.5 Trace And Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.6 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.7 Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.8 The Estimation Of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

13 Self Adjoint Operators 315
13.1 Simultaneous Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
13.2 Schur's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
13.3 Spectral Theory Of Self Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13.4 Positive And Negative Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.5 Fractional Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
13.6 Polar Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
13.7 The Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
13.8 Approximation In The Frobenius Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
13.9 Least Squares And Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 337
13.10The Moore Penrose Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
13.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
14 Norms For Finite Dimensional Vector Spaces 345
14.1 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
14.2 The Condition Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
14.3 The Spectral Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
14.4 Series And Sequences Of Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
14.5 Iterative Methods For Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
14.6 Theory Of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
15 Numerical Methods For Finding Eigenvalues 381
15.1 The Power Method For Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
15.1.1 The Shifted Inverse Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
15.1.2 The Explicit Description Of The Method . . . . . . . . . . . . . . . . 386
15.1.3 Complex Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
15.1.4 Rayleigh Quotients And Estimates for Eigenvalues . . . . . . . . . . . 395
15.2 The QR Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
15.2.1 Basic Properties And De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
15.2.2 The Case Of Real Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
15.2.3 The QR Algorithm In The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
A Some Interesting Topics 417
A.1 Positive Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
A.2 Functions Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
B Applications To Di®erential Equations 431
B.1 Theory Of Ordinary Di®erntial Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
B.2 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
B.3 Local Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
B.4 First Order Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
B.5 Geometric Theory Of Autonomous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
B.6 General Geometric Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
B.7 The Stable Manifold . . . . . . . .

這個(gè)不知道是第幾版的？