14.2.1 判斷主成分的個(gè)數(shù)

判斷PCA中需要多少個(gè)主成分的準(zhǔn)則：

根據(jù)先驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)和理論知識(shí)判斷主成分?jǐn)?shù)；

根據(jù)要解釋變量方差的積累值的閾值來判斷需要的主成分?jǐn)?shù)；

通過檢查變量間k × k的相關(guān)系數(shù)矩陣來判斷保留的主成分?jǐn)?shù)。

利用fa.parallel()函數(shù)，可以同時(shí)對(duì)三種特征值判別準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng)價(jià)

> fa.parallel(USJudgeRatings[,-1],fa="PC",n.iter=100,

+ show.legend=FALSE,

+ main="Scree plotwith parallel analysis")

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/njjfaJS7c9ryGpaiaMSsVn4dsd9DWArhIRPZlqPFfzTO13ztD5dQY5P7ujiaPOX529XRZUzHLLqXibMPlArxIIONQ/0?wx_fmt=png

評(píng)價(jià)美國(guó)法官評(píng)分中要保留的主成分個(gè)數(shù)。碎石圖（直線與x符號(hào)）、特征值大于1準(zhǔn)則（水平線）和100次模擬的平行分析（虛線）都表明保留一個(gè)主成分即可。三種準(zhǔn)則表明選擇一個(gè)主成分即可保留數(shù)據(jù)集的大部分信息

14.2.2 提取主成分

principal()函數(shù)可以根據(jù)原始數(shù)據(jù)矩陣或者相關(guān)系數(shù)矩陣做主成分分析。格式為：principal（r,nfactors=,rotate=,scores=）

r是相關(guān)系數(shù)矩陣或原始數(shù)據(jù)矩陣；

nfactors設(shè)定主成分?jǐn)?shù)（默認(rèn)為1）；

rotate指定旋轉(zhuǎn)的方法[默認(rèn)最大方差旋轉(zhuǎn)（varimax）

scores設(shè)定是否需要計(jì)算主成分得分（默認(rèn)不需要）。

> pc<-principal(USJudgeRatings[,-1],nfactors=1)

> pc

由于PCA只對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行分析，在獲取主成分前，原始數(shù)據(jù)將會(huì)被自動(dòng)轉(zhuǎn)換為相關(guān)系數(shù)矩陣。PC1欄包含了成分載荷，指觀測(cè)變量與主成分的相關(guān)系數(shù)。如果提取不止一個(gè)主成分，那么還將會(huì)有PC2、PC3等欄。成分載荷（component loadings）可用來解釋主成分的含義。此處可以看到，第一主成分（PC1）與每個(gè)變量都高度相關(guān)，也就是說，它是一個(gè)可用來進(jìn)行一般性評(píng)價(jià)的維度。

h2欄指成分公因子方差——主成分對(duì)每個(gè)變量的方差解釋度。u2欄指成分唯一性——方差無法被主成分解釋的比例.如，體能（PHYS）80%的方差都可用第一主成分來解釋，20%不能。相比而言，PHYS是用第一主成分表示性最差的變量。SS loadings行包含了與主成分相關(guān)聯(lián)的特征值，指的是與特定主成分相關(guān)聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)化后的方差值（本例中，第一主成分的值為10）。最后，Proportion Var行表示的是每個(gè)主成分對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集的解釋程度。此處可以看到，第一主成分解釋了11個(gè)變量92%的方差。

14.2.3 主成分旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)是一系列將成分載荷陣變得更容易解釋的數(shù)學(xué)方法，它們盡可能地對(duì)成分去噪。旋轉(zhuǎn)方

法有兩種：使選擇的成分保持不相關(guān)（正交旋轉(zhuǎn)），和讓它們變得相關(guān)（斜交旋轉(zhuǎn)）。旋轉(zhuǎn)方法也會(huì)依據(jù)去噪定義的不同而不同。最流行的正交旋轉(zhuǎn)是方差極大旋轉(zhuǎn)，它試圖對(duì)載荷陣的列進(jìn)行去噪，使得每個(gè)成分只是由一組有限的變量來解釋（即載荷陣每列只有少數(shù)幾個(gè)很大的載荷，其他都是很小的載荷）。

方差極大旋轉(zhuǎn)的主成分分析

>rc<-principal(Harman23.cor$cov,nfactors=2,rotate="varimax")

> rc

觀察RC1欄的載荷，你可以發(fā)現(xiàn)第一主成分主要由前四個(gè)變量來解釋（長(zhǎng)度變量）。RC2欄的載荷表示第二主成分主要由變量5到變量8來解釋（容量變量），兩個(gè)主成分旋轉(zhuǎn)后的累積方差解釋性沒有變化（81%），變的只是各個(gè)主成分對(duì)方差的解釋度（成分1從58%變?yōu)?4%，成分2從22%變?yōu)?7%）。各成分的方差解釋度趨同，準(zhǔn)確來說，此時(shí)應(yīng)該稱它們?yōu)槌煞侄�不是主成分（因�(yàn)閱蝹�(gè)主成分方差最大化性質(zhì)沒有保留）。

14.2.4 獲取主成分得分

從原始數(shù)據(jù)中獲取成分得分

> library(psych)

> pc<-principal(USJudgeRatings[,-1],nfactors=1,score=TRUE)

> head(pc$scores)

當(dāng)scores = TRUE時(shí)，主成分得分存儲(chǔ)在principal()函數(shù)返回對(duì)象的scores元素中。

還可以獲得律師與法官的接觸頻數(shù)與法官評(píng)分間的相關(guān)系數(shù)：

> cor(USJudgeRatings$CONT,pc$score)

PC1

[1,] -0.008815895

律師與法官的熟稔度與律師的評(píng)分毫無關(guān)聯(lián)

獲取主成分得分的系數(shù)

> library(psych)

>rc<-principal(Harman23.cor$cov,nfactors=2,rotate="varimax")

> round(unclass(rc$weights),2)

主成分得分：

PC1=0.25*height+0.3*arm.span+0.3*forearm+0.29*lower.leg-0.06*weight-0.08*bitro.diameter-0.1*chest.girth-0.04*chest.width

14.3 探索性因子分析

EFA的目標(biāo)是通過發(fā)掘隱藏在數(shù)據(jù)下的一組較少的、更為基本的無法觀測(cè)的變量，來解釋一組可觀測(cè)變量的相關(guān)性。這些虛擬的、無法觀測(cè)的變量稱作因子。（每個(gè)因子被認(rèn)為可解釋多個(gè)觀測(cè)變量間共有的方差，因此準(zhǔn)確來說，它們應(yīng)該稱作公共因子。）模型的形式為：http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/njjfaJS7c9ryGpaiaMSsVn4dsd9DWArhIFyVqFTaX8vKU6kb2bicH2DAt2yB4qS4B1TeQ6IlK2xllcAB8VQLQO2Q/0?wx_fmt=png

其中Xi是第i個(gè)可觀測(cè)變量（i = 1…k），Fj是公共因子（j = 1…p），并且p<k。Ui是Xi變量獨(dú)有的部分（無法被公共因子解釋）。ai可認(rèn)為是每個(gè)因子對(duì)復(fù)合而成的可觀測(cè)變量的貢獻(xiàn)值。

> options(digits=2)

> covariances<-ability.cov$cov

> correlations<-cov2cor(covariances)

> correlations

14.3.1 判斷需提取的公共因子數(shù)

用fa.parallel()函數(shù)可判斷需提取的因子數(shù)：

> library(psych)

> covariances<-ability.cov$cov

> correlations<-cov2cor(covariances)

> fa.parallel(correlations,n.obs=112,fa="both",n.iter=100,

+ main="Screeplots with parrallel analysis")

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/njjfaJS7c9ryGpaiaMSsVn4dsd9DWArhIcCnZicbCLaTqHhBa4R17yKKicTtdBwFNsvxnYp5plfYEQWhxFPHWzk1Q/0?wx_fmt=png

判斷心理學(xué)測(cè)驗(yàn)需要保留的因子數(shù)。圖中同時(shí)展示了PCA和EFA的結(jié)果。PCA結(jié)果建議提取一個(gè)或者兩個(gè)成分，EFA建議提取兩個(gè)因子

14.3.2 提取公共因子

決定提取兩個(gè)因子，可以使用fa()函數(shù)獲得相應(yīng)的結(jié)果。fa()函數(shù)的格式如下：fa(r,nfactors=,n.obs=,rotate=,scores=,fm=)

r是相關(guān)系數(shù)矩陣或者原始數(shù)據(jù)矩陣；

nfactors設(shè)定提取的因子數(shù)（默認(rèn)為1）；

n.obs是觀測(cè)數(shù)（輸入相關(guān)系數(shù)矩陣時(shí)需要填寫）；

rotate設(shè)定旋轉(zhuǎn)的方法（默認(rèn)互變異數(shù)最小法）；

scores設(shè)定是否計(jì)算因子得分（默認(rèn)不計(jì)算）；

fm設(shè)定因子化方法（默認(rèn)極小殘差法）。

與PCA不同，提取公共因子的方法很多，包括最大似然法（ml）、主軸迭代法（pa）、加權(quán)最小二乘法（wls）、廣義加權(quán)最小二乘法（gls）和最小殘差法（minres）未旋轉(zhuǎn)的主軸迭代因子法:

> fa<-fa(correlations,nfactors=2,rotate="none",fm="pa")

> fa

兩個(gè)因子解釋了六個(gè)心理學(xué)測(cè)驗(yàn)60%的方差。不過因子載荷陣的意義并不太好解釋，此時(shí)使用因子旋轉(zhuǎn)將有助于因子的解釋。

14.3.3 因子旋轉(zhuǎn)

用正交旋轉(zhuǎn)提取因子

> fa.varimax<-fa(correlations,nfactors=2,rotate="varimax",fm="pa")

> fa.varimax

結(jié)果顯示因子變得更好解釋了。閱讀和詞匯在第一因子上載荷較大，畫圖、積木圖案和迷宮在第二因子上載荷較大，非語言的普通智力測(cè)量在兩個(gè)因子上載荷較為平均，這表明存在一個(gè)語言智力因子和一個(gè)非語言智力因子。

用斜交旋轉(zhuǎn)提取因子:

> fa.promax<-fa(correlations,nfactors=2,rotate="promax",fm="pa")

> fa.promax

根據(jù)以上結(jié)果，你可以看出正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)的不同之處。對(duì)于正交旋轉(zhuǎn)，因子分析的重點(diǎn)在于因子結(jié)構(gòu)矩陣（變量與因子的相關(guān)系數(shù)），而對(duì)于斜交旋轉(zhuǎn)，因子分析會(huì)考慮三個(gè)矩陣：因子結(jié)構(gòu)矩陣、因子模式矩陣和因子關(guān)聯(lián)矩陣。因子模式矩陣即標(biāo)準(zhǔn)化的回歸系數(shù)矩陣。它列出了因子預(yù)測(cè)變量的權(quán)重。因子關(guān)聯(lián)矩陣即因子相關(guān)系數(shù)矩陣。factor.plot()或fa.diagram()函數(shù)，你可以繪制正交或者斜交結(jié)果的圖形。

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/njjfaJS7c9ryGpaiaMSsVn4dsd9DWArhISIaauMEbcEh4z5p3iaHfJyicxC6rjGjUCciamIXEEQqhEJicjGo9xjtWFg/0?wx_fmt=png

> fa.diagram(fa.promax,simple=FALSE)

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/njjfaJS7c9ryGpaiaMSsVn4dsd9DWArhIKho25e1XkJ8XEHLLWl5IrjtI5PUa2RbULbwOv3MTm023UTqC4I3fIg/0?wx_fmt=png

14.3.4 因子得分

EFA并不那么關(guān)注計(jì)算因子得分。在fa()函數(shù)中添加score = TRUE選項(xiàng)（原始數(shù)據(jù)可得時(shí)）便可很輕松地獲得因子得分。

> fa.promax$weights

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/njjfaJS7c9pcxNeeKU0zq8TEgvw4J3EiczPnHX3JCqRe1pvFe0VHKph4SV6k6DR1h909nau18CYWO4NK8RlZVXw/0?wxfmt=jpeg

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