情景：在某一時(shí)間段內(nèi)，一個(gè)人在不斷地吃餅，一共吃了五個(gè)餅，分別標(biāo)號(hào)｛1,2,3,4,5｝，在吃第一個(gè)餅時(shí)這個(gè)人沒有感覺，但是他越吃越想吃（因?yàn)槿耸秦澙返模�，但是他卻越吃越飽（因?yàn)槿说奈缚谑怯邢薜模�，而且他的表現(xiàn)是越吃越慢（正常情況下）．
　
證明一始：：：：：：：：：：：
　
在這個(gè)情景下：
　
假設(shè)建立一個(gè)由整數(shù)基點(diǎn)組成的坐標(biāo)模型．
　
假設(shè)：N＝any｛1,2,3,4,5｝
　
假設(shè)第N個(gè)餅對(duì)這個(gè)人的'物質(zhì)貢獻(xiàn)'用變量 X 來表示．
　
假設(shè)第N個(gè)餅對(duì)這個(gè)人的'精神貢獻(xiàn)'用變量 Y 來表示．
　
假設(shè)第N個(gè)餅對(duì)這個(gè)人的'使用價(jià)值'用變量 A 來表示．
　
假設(shè)第N個(gè)餅對(duì)這個(gè)人的'效用'用變量 B 來表示．
　
假設(shè) A = X + Y．（加法）．
　
假設(shè) B = X * Y．（乘法）．
　
　
　
那么同樣是這個(gè)情景下：
　
由于這個(gè)人在吃第一個(gè)餅時(shí)沒有感覺，就理解為第一個(gè)餅對(duì)這個(gè)人的精神貢獻(xiàn)和物質(zhì)貢獻(xiàn)相同，即 X = 5　Y = 5．也就是初始情況下 A = 5 + 5 = 10
　
由于這個(gè)人越吃越想吃，就理解為 Y 不斷地增加，假設(shè)吃下一個(gè)餅的 Y 是吃上一個(gè)餅的 Y+ 1．
　
由于這個(gè)人越吃越飽，就理解為 X 不斷地減少，假設(shè)吃下一個(gè)餅的 X 是吃上一個(gè)餅的 X - 1．　　
　
所以得出的數(shù)據(jù)是：
　
N ： 1 2 3 4 5
X ： 5 4 3 2 1
Y ： 5 6 7 8 9
A ： 1010101010 (A = X + Y)
B ： 252421169(B = X * Y)
　
25 > 24 > 21 > 16 > 9
　
于是，所得的結(jié)論是 B （即效用）是遞減的，也就可以理解為在情景中所描述的＂他的表現(xiàn)是越吃越慢＂．
　
而且
B(1) - B(2) = 25 - 24 = 1
B(2) - B(3) = 24 - 21 = 3
B(3) - B(4) = 21 - 16 = 5
B(4) - B(5) = 16 - 9= 7
　
1 < 3 < 5 < 7
　
可以看出的是，效用遞減的速度越來越快，即負(fù)的邊際效用越來越大，于是就證明了在'證明一'的情景和假設(shè)下邊際效用應(yīng)該是遞增的．
　
證明一畢．．．．．．．．．．
　
　
雖然本數(shù)學(xué)模型證明了邊際效用可以是遞增的，但是只要把假設(shè)的 B （即相應(yīng)的效用）的計(jì)算公式一改（改成由 X 和 Y 組成的某個(gè)復(fù)雜公式），就完全可以得出相應(yīng)的邊際效用下降的結(jié)論．
　
　
　
　
證明二始：：：：：：：：：：
　
情景不變．
　
假設(shè) B = X / Y （除法），其他假設(shè)如'證明一'．
　
所以得出的數(shù)據(jù)是：
　
N ： 1 2 3 4 5
X ： 5 4 3 2 1
Y ： 5 6 7 8 9
A ： 10 10 10 10 10(A = X + Y)
B ： 1.000.670.430.250.11(B = X / Y)
　
1.00 > 0.67 > 0.43 > 0.25 > 0.11
　
于是，所得的結(jié)論是 B （即效用）是遞減的，也就可以理解為在情景中所描述的＂他的表現(xiàn)是越吃越慢＂．這和'證明一'的相關(guān)結(jié)論是一樣的．
　
B(1) - B(2) = 1.00 - 0.67 = 0.33
B(2) - B(3) = 0.67 - 0.43 = 0.24
B(3) - B(4) = 0.43 - 0.25 = 0.18
B(4) - B(5) = 0.25 - 0.11= 0.14
　
0.33 > 0.24 > 0.18 > 0.14
　
可以看出的是，效用遞減的速度越來越慢，即負(fù)的邊際效用越來越小，于是就證明了在'證明二'的情景和假設(shè)下邊際效用應(yīng)該是遞減的．這和'證明一'的相關(guān)結(jié)論是不一樣的．
　
最終的結(jié)論是在證明二的情景和假設(shè)下，如果 效用＝物質(zhì)貢獻(xiàn)／精神貢獻(xiàn) （即 B = X / Y） 的話，邊際效用遞減假設(shè)成立．
　
證明二畢．．．．．．．．．．．
　
　
　
總結(jié)和對(duì)現(xiàn)實(shí)的驗(yàn)證意義：
　
如果對(duì) 效用＝物質(zhì)貢獻(xiàn)／精神貢獻(xiàn) 分析一下的話，可以看出在物質(zhì)貢獻(xiàn)和精神貢獻(xiàn)同樣上升的情況下，物質(zhì)貢獻(xiàn)的增長(zhǎng)如何比精神貢獻(xiàn)的增長(zhǎng)更快，用物質(zhì)貢獻(xiàn)壓住人性的貪婪和無窮無盡的精神欲望，這是一個(gè)時(shí)下最時(shí)興的研究課題了．
　
也可以分析出來的是：正常情況下在本情景和相關(guān)假設(shè)下，效用一定是遞減的，也就是一定有邊際效用存在（邊際效用不為0），邊際效用的遞增的速度或遞減的速度決定了這個(gè)人吃餅的速度和吃餅的總時(shí)間．
　
實(shí)際情況中，自然不會(huì)像本模型分析的這樣簡(jiǎn)單，邊際效用究竟該怎么實(shí)際分析，又如何擴(kuò)展到更多情況的邊際分析，還需要更多的研究．比如說在物質(zhì)貢獻(xiàn)變量和精神貢獻(xiàn)變量以外再增加政治貢獻(xiàn)變量和社會(huì)貢獻(xiàn)變量．