空間計量 | 空間OLS回歸原理及案例實操分析

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通常情況下，我們研究X對于Y的影響作用關系，可以使用OLS回歸，并且OLS回歸時默認認為數(shù)據之間具有獨立性（即行與行之間具有完整的獨立性并不互相影響），但當前有的數(shù)據并非如此，比如各省GDP之間具有影響作用關系，北京的GDP可以拉動天津的GDP提升，即如果研究的樣本是31個省，那么此31個省（樣本）之間本身就具有相互影響關系，即樣本之間不獨立，而且樣本之間具有‘空間性’，此則空間計量研究的內容，空間計量是在普通計量基礎上加入‘空間性’，此‘空間性’是通過‘空間權重矩陣’進行體現(xiàn)，其表示樣本之間的相關關系情況，比如31個省市之間是否具有相鄰關系，也或者31個省市之間的物理距離或者經濟距離情況等。‘空間權重矩陣’類似如下圖：

比如上圖中的空間權重矩陣，其表示中國31個省市之間空間關系，此關系為兩兩省份之間是否具有相鄰性，數(shù)字1表示具有相鄰關系數(shù)字0表示沒有。比如北京和天津相鄰因而為1，也比如上海和浙江相鄰為1。當然里面的數(shù)字也可以為小數(shù)，小數(shù)時很可能就是表示兩兩間的比如物理距離或者經濟距離等。但無論如何，空間權重矩陣具有如下特點：

• 第1：對稱性； 其一定滿足M(i, j)=M(j, i)這一特點，該特點很明顯，北京和天津相鄰，那么天津和北京也相鄰；

• 第2：主對角線為0；主對角線表示自己與自己的關系，永遠為數(shù)字0；

• 第3：n*n階矩陣，比如31個省那就是31*31矩陣，只是第1行為省的名稱而已；

• 第4：標準化處理；試著想象下，數(shù)字如果是物理距離，那么北京挨著天津很近所以數(shù)字很小，但是北京離新疆或者海南就會非常遠數(shù)字很大，因而通常需要對空間權重矩陣進行量綱化處理，正常情況下會使用‘按行標準化’處理這一方式，其表示某行的任意數(shù)字除以該行數(shù)字之和，處理后其數(shù)字的實際意義為相對在空間上的相對距離值。

  
  

本文檔的空間OLS回歸，其實質就是OLS回歸，但其會輸出模型LM檢驗等，用于進一步判斷適合的空間模型使用。

在使用空間計量相關的方法時，其均需要‘空間權重矩陣’和‘分析數(shù)據’兩份數(shù)據，并且均需要單獨上傳到SPSSAU中，并且對‘分析數(shù)據’進行分析時，下拉選擇對應的‘空間權重矩陣’，操作上分為以下3個步驟。

• 第1：上傳‘空間權重矩陣’文檔

  此處需要注意：上傳的數(shù)據需要為n*n階格式，而且第1行為空間點的名稱（比如31省市的名稱）。類似下圖格式：

  
  

• 第2：上傳‘分析數(shù)據’文檔

  此處需要注意：比如31省市數(shù)據，‘空間權重矩陣’有著該31個空間點的順序比如北京-》天津-》河北-》山西-》…，那么‘分析數(shù)據’的31行數(shù)據也需要按此順序才可以。

• 第3：針對‘分析數(shù)據’進行分析，并且選擇‘空間權重矩陣’文檔

  此處需要注意：進行某空間研究方法時需要下拉選擇‘空間權重矩陣’，選擇后，SPSSAU會自動判斷其是否為‘空間權重矩陣’格式，包括是否為n*n階結構，是否具有對稱性等。如果不是則會進行信息提示，請勿必注意空間權重矩陣數(shù)據格式。

  
  

空間OLS回歸案例

• 1、背景

  當前有一份空間數(shù)據，其為美國哥倫布市49個社區(qū)的相關數(shù)據，包括犯罪率（crime）、房價（hoval）和家庭收入（income），當前希望研究房價和家庭收入對于犯罪率的影響關系，并且在研究這一影響關系時，考慮空間性。部分數(shù)據如下圖所示：

  
  

  上面展示的是‘分析數(shù)據’，共有49個社區(qū)，該49個社區(qū)對應的‘空間權重矩陣’如下圖所示：

  
  

  圖中數(shù)字1表示兩個空間點（社區(qū)）之間相鄰，數(shù)字0表示兩個社區(qū)不相鄰�？臻g權重矩陣數(shù)據可點擊此處下載。

  
  
• 2、理論

  空間OLS回歸的目的是進行OLS回歸時計算LM檢驗，利用LM檢驗進一步判斷適合的空間計量模型，其會輸出LM檢驗用于判斷選擇最優(yōu)的空間計量模型，其回歸結果實質上就是普通OLS回歸模型結果。

  LM檢驗是空間OLS回歸最核心表格，結合LM檢驗結果，可選擇最優(yōu)的空間計量模型，比如是使用空間滯后SLM(也稱SAR模型)，還是空間誤差模型，也或者應該不考慮空間性直接使用OLS回歸結果等，針對LM檢驗的判斷流程建議如下圖所示：

  
  

  • 進行空間OLS回歸時輸出4個LM檢驗，首先針對LM-error和LM-lag進行分析，如果二者均不顯著，則應該使用OLS回歸即可，如果僅LM-error顯著則使用空間誤差模型，如果僅LM-lag顯著則使用空間滯后模型，如果二者均顯著，則需要進一步查看Robust LM檢驗；

  • 基于LM-error和LM-lag均顯著時，則需要結合Robust LM-error和Robust LM-lag檢驗進一步判斷，如果Robust LM-error和Robust LM-lag檢驗均不顯著，此時退回到上一步即對比LM-error和Lm-lag這兩個檢驗對應的卡方值，哪個更大則使用更大對應的模型，比如LM-error檢驗的卡方值更大則使用空間誤差模型，如果LM-lag檢驗的卡方值更大則使用空間滯后模型；如果僅Robust LM-error顯著則使用空間誤差模型，如果僅Robust LM-lag顯著則使用空間滯后模型，如果Robust LM-error和Robust LM-lag檢驗二者均顯著，此時可使用二者中對應卡方值更大時對應的模型（或者結合信息準則判斷模型優(yōu)劣），比如Robust LM-lag檢驗的卡方值比Robust LM-error檢驗時的卡方值更大，那么可使用空間滯后模型，當然也可考慮使用空間滯后誤差模型（即一般空間模型SAC)。

  • 除此之外，通常情況下，空間OLS回歸（即普通OLS回歸）可作為一個參照模型與最終使用的空間模型進行對比分析。

    
    
  
  
• 3、操作

  本例子操作如下：

  
  

  下拉選擇‘空間權重矩陣’文檔即spatialweight這份數(shù)據，默認對空間權重矩陣行標準化處理，需要注意的是，空間權重矩陣通常需要進行行標準化處理。

  
  
• 4、SPSSAU輸出結果

  SPSSAU共輸出7個表格，分別是模型基本參數(shù)等、空間OLS模型分析結果、空間OLS模型LM檢驗匯總、空間OLS模型相關檢驗匯總、信息準則指標結果、空間效應分析和空間OLS回歸分析結果-簡化格式表格，如下所述。

  表格	說明
  模型基本參數(shù)等	輸出模型的基礎參數(shù)值信息等
  空間OLS模型分析結果	輸出空間OLS（實質上就是OLS回歸結果）
  空間OLS模型LM檢驗匯總	輸出核心的LM檢驗結果，用于判斷選擇最優(yōu)的空間計量模型
  空間OLS模型相關檢驗匯總	輸出比如異方差檢驗結果等
  信息準則指標結果	輸出ML極大似然法估計的信息準則指標等
  空間效應分析	輸出空間效應分析表格
  空間OLS回歸分析結果-簡化格式表格	輸出OLS回歸結果的簡化表格格式

  
  
  
• 5、文字分析
  

  上表格模型的基本參數(shù)信息，包括具體的空間計量模型名稱，是否使用穩(wěn)健標準誤差，空間權重矩陣名稱及是否對其進行標準化處理等，模型估計方法等，表格中僅展示模型的參數(shù)信息等無特別分析意義。

  
  

  上表格展示OLS模型回歸結果，但空間OLS回歸核心目的在于得到LM檢驗，用于判斷最終應該使用哪個空間模型，結合LM檢驗流程圖最終可進行判斷選擇，當然最終也可能使用OLS回歸結果（此種情況下意味著沒有空間效應），如果是此類情況則直接使用上表格即可。

  
  

  上表格展示最核心的LM檢驗結果，從上表格可以看到，LM-error和LM-lag這兩個檢驗均呈現(xiàn)出顯著性，因而進一步對Robust LM-error和Robust LM-lag這兩個進行分析，但是這兩項均沒有呈現(xiàn)出顯著性，因而又退回去判斷LM-error和Lm-lag檢驗。LM-error對應的卡方值為4.246 < Lm-lag檢驗對應的卡方值6.595，因而最終使用LM-lag檢驗對應的空間滯后模型（即SLM模型或者SAR模型）結果較優(yōu)，那么后面則需要使用SPSSAU對應的空間滯后模型進行分析。

  
  

  上表格展示OLS回歸對應的異方差White檢驗，BP檢驗和JB檢驗等，由于空間模型更多關注于空間性，因而上表格的關注度通常不高，當然如果有著異方差問題時，此時可使用穩(wěn)健標準誤差法進行估計即可。

  
  

  上表格展示信息準則結果表格，包括llf值和另外兩個值即AIC值和Schwarz準則值，llf值通常越大越好，但是AIC值和Schwarz準則值均是越小越好，如果希望對比模型優(yōu)劣，可考慮使用上述三個指標，但需要注意的是，極大似然法估計ML法時才會輸出上述指標，如果是比如GMM估計則沒有輸出上述指標。

  
  

  空間計量研究時，通常會關注于空間效應，其中直接效應ADI反映自變量X對于自身區(qū)域Y的平均影響效應情況，間接（溢出）效應AII反應自變量X對其它區(qū)域Y的平均影響效應情況，總效應ATI=直接效應ADI+間接（溢出）效應AII。但是本文檔中為空間OLS回歸，其就是普通OLS回歸，并沒有任何的空間效應，因而AII值全部均為0。

  
  

  上表格展示OLS回歸的簡化表格格式，由于本案例數(shù)據最終應該使用空間滯后SLM（或SAR模型），因而本處不單獨進行分析。

  
  
• 6、剖析
  • 涉及以下幾個關鍵點，分別如下：

  • 空間OLS回歸時需要核心關注LM檢驗，結合LM檢驗流程選擇最優(yōu)的空間計量模型，LM檢驗的解讀上帶有一定的主觀性判斷，建議結合實際數(shù)據情況進行選擇使用。

  • 空間OLS回歸，其實質上就是普通OLS回歸，但其加入空間權重矩陣因而會輸出LM檢驗結果。

    
    
  
  
  

疑難解惑

• 空間計量LM檢驗的解讀？

• 通常情況下，LM檢驗時首先針對LM-error和LM-lag進行判斷，如果二者均顯著則應該進一步使用Robust LM-error和Robust LM-lag進行判斷選擇，如果僅LM-error顯著則使用空間誤差模型，如果僅LM-lag顯著則使用空間滯后模型，如果二者均不顯著則使用空間OLS回歸即此時沒有空間效應

• 如果LM-error和LM-lag均顯著時，進一步對Robust LM-error和Robust LM-lag進行判斷，如果Robust LM-error和Robust LM-lag均顯著，則通常可選擇二者中更大卡方值的項，比如Robust LM-error對應的卡方值更大則使用空間誤差模型，如果Robust LM-lag對應的卡方值更大則使用空間滯后模型。如果僅Robust LM-error顯著則使用空間誤差模型，如果僅Robust LM-lag顯著則使用空間滯后模型。如果Robust LM-error和Robust LM-lag均不顯著時，那么則退回去判斷LM-error和LM-lag，對比LM-error和LM-lag那個對應的卡方值更大，比如LM-error對應的卡方值更大則使用空間誤差模型（如果LM-lag對應的卡方值更大則使用空間滯后模型）。

  
  

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關鍵詞：空間計量 OLS schwarz Spatial white檢驗