R數(shù)據(jù)分析：工具變量回歸的做法和解釋，實例解析

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前幾天看了個視頻，是2024年諾貝爾經(jīng)濟學獎得主在分享自己的研究，研究問題是“制度如何形成并影響經(jīng)濟繁榮”，在研究這個問題的時候他的PPT中提到研究的統(tǒng)計過程中用到了工具變量，想著再次大家介紹一下這個方法。說不定利用這個方法，哪天我的讀者里面也出個諾貝爾獎得主呢，哈哈哈。

想象一下：你想知道“冰淇淋銷量”和“溺水人數(shù)”之間是否存在關(guān)系。你通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，冰淇淋銷量高的月份，溺水人數(shù)也比較多。你可能會得出“吃冰淇淋導(dǎo)致溺水”的結(jié)論嗎？顯然不合理。

問題出在哪里？

這里存在一個“遺漏變量”——氣溫。

• 氣溫升高，人們更喜歡吃冰淇淋，導(dǎo)致冰淇淋銷量上升。
• 氣溫升高，人們更喜歡去游泳等水上活動，導(dǎo)致溺水人數(shù)上升。
  

所以，冰淇淋銷量和溺水人數(shù)之間并非直接的因果關(guān)系，而是都被氣溫這個共同的因素所影響。這種因為遺漏變量導(dǎo)致你研究的變量（冰淇淋銷量）和影響結(jié)果的“其他因素”（這些“其他因素”我們統(tǒng)稱為“誤差項”）產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的情況，就叫做內(nèi)生性。

內(nèi)生性指的是，在統(tǒng)計模型中，解釋變量（比如“吃冰淇淋”）和誤差項（也就是我們沒有觀測到的其他影響因素）之間存在關(guān)聯(lián)。這會導(dǎo)致模型估計結(jié)果產(chǎn)生偏差，我們無法準確地推斷出因果關(guān)系。

In econometrics, endogeneity refers to the situation where an explanatory variable in a regression model is correlated with the error term

具體來說，內(nèi)生性通常由以下幾種原因引起：

1.遺漏變量（Omitted Variable）： 模型中遺漏了一個或多個與解釋變量和因變量都相關(guān)的變量。

例子： 研究教育程度對工資收入的影響時，如果模型中沒有考慮到個人能力，而個人能力同時影響教育程度和工資收入，那么教育程度就與誤差項相關(guān)，產(chǎn)生內(nèi)生性。

2.雙向因果關(guān)系（Simultaneity/Reverse Causality）： 解釋變量和因變量之間存在互為因果的關(guān)系。

例子： 研究廣告支出對銷售額的影響時，廣告支出可以促進銷售額的增長，而高銷售額也可能反過來導(dǎo)致企業(yè)增加廣告投入，這就形成了雙向因果關(guān)系。

3.測量誤差（Measurement Error）： 解釋變量的測量存在誤差，導(dǎo)致其與誤差項相關(guān)。

例子： 調(diào)查人們的收入水平時，受訪者可能由于各種原因（例如，記憶偏差、隱瞞真實收入等）而提供不準確的信息，這就導(dǎo)致收入的測量存在誤差，從而產(chǎn)生內(nèi)生性。

4.樣本選擇偏差（Sample Selection Bias）： 研究對象的選擇并非隨機，而是基于某些與因變量相關(guān)的因素進行選擇，導(dǎo)致樣本不具有代表性，從而產(chǎn)生內(nèi)生性。

例子： 研究大學教育對畢業(yè)生收入的影響時，如果只有成功找到高薪工作的畢業(yè)生才愿意參與調(diào)查，那么樣本就存在選擇偏差，因為高收入本身就與接受大學教育的意愿和能力相關(guān)。

工具變量的概念：

工具變量就像是一個“替身”，它可以幫助我們解決內(nèi)生性問題。為了解決內(nèi)生性問題，我們需要找到一個只影響“冰淇淋銷量”，而不直接影響“溺水人數(shù)”的變量。這個變量就叫做工具變量。一個好的工具變量需要有兩個重要特征，一個是相關(guān)性，另一個是外生性。

An instrumental variable (IV) is a variable that is correlated with the endogenous explanatory variable but is uncorrelated with the error term in the regression model

我們還是用剛剛“冰淇淋銷量”和“溺水人數(shù)”的例子來說明： 假設(shè)我們找到一個工具變量叫做“太陽鏡銷量”，這個變量它滿足：

• 相關(guān)性（Relevance）： 氣溫升高，人們更喜歡買太陽鏡，所以“太陽鏡銷量”和“冰淇淋銷量”是相關(guān)的。工具變量與內(nèi)生解釋變量高度相關(guān)。這意味著工具變量能夠有效地預(yù)測內(nèi)生解釋變量的變動。
• 外生性（Exogeneity）： “太陽鏡銷量”本身并不會直接導(dǎo)致溺水人數(shù)增加。它只能通過影響“冰淇淋銷量”來間接影響（或者說和“溺水人數(shù)”產(chǎn)生表面上的關(guān)聯(lián)）。工具變量與誤差項不相關(guān)。這意味著工具變量不會通過其他渠道直接影響因變量，只能通過影響內(nèi)生解釋變量來間接影響因變量。
  

“太陽鏡銷量”就滿足了工具變量的兩個關(guān)鍵條件：

• 與內(nèi)生變量（冰淇淋銷量）相關(guān)。
• 與誤差項（影響溺水人數(shù)的其他因素，例如水域安全措施、游泳技能等）不相關(guān)。
  

工具變量如何工作？

工具變量的目的是將“冰淇淋銷量”這個解釋變量或者叫做自變量分解成兩部分：

• 受“太陽鏡銷量”影響的部分： 這部分和“溺水人數(shù)”的“其他影響因素”無關(guān)。
• 不受“太陽鏡銷量”影響的部分： 這部分可能和“溺水人數(shù)”的“其他影響因素”有關(guān)（也就是內(nèi)生性問題的來源）。
  

通過工具變量，我們只關(guān)注“冰淇淋銷量”中不受“其他影響因素”干擾的那部分，從而更準確地估計“冰淇淋銷量”和“溺水人數(shù)”之間的關(guān)系（雖然在這個例子中，我們期望得到的關(guān)系是不顯著的，也就是吃冰淇淋和溺水沒關(guān)系）。

再歸納一遍上述思路：就是我們要研究xy的關(guān)系，這個關(guān)系可能是相當復(fù)雜的，復(fù)雜到可能根本就無法直接估計，比如社會制度和繁榮的關(guān)系；那么這個時候我找到了一個和社會制度強相關(guān)的變量Z，并且這個Z和繁榮沒關(guān)系，那么我們就可以用Z和繁榮的關(guān)系去作為xy關(guān)系的估計。

但是變量Z其實是不好找的，根本不會存在Z和X完全相關(guān)，所以我們依然是要借住統(tǒng)計方法將Z實際起作用的部分摳出來，變成xy的關(guān)系可以用受Z影響的x的部分和Y的關(guān)系作為估計。

兩階段最小二乘法（2SLS）

工具變量最常用的應(yīng)用方法是兩階段最小二乘法：

• 第一階段： 用工具變量（太陽鏡銷量）去預(yù)測內(nèi)生變量（冰淇淋銷量），得到“冰淇淋銷量的預(yù)測值”。這個預(yù)測值只包含了“冰淇淋銷量”中受“太陽鏡銷量”影響的部分，因此和“其他影響因素”無關(guān)。
• 第二階段： 用“冰淇淋銷量的預(yù)測值”去預(yù)測因變量（溺水人數(shù)）。這樣得到的估計結(jié)果就消除了內(nèi)生性帶來的偏差。
  

總體來說就是工具變量的本質(zhì)是尋找一個外生的變動來源，幫助我們分離出內(nèi)生變量中與誤差項無關(guān)的部分，從而更準確地估計變量之間的因果關(guān)系。

實例解析

假設(shè)我們研究教育程度（Education）對工資收入（Wage）的影響。但是，教育程度可能存在內(nèi)生性問題，因為：

• 遺漏變量： 例如，個人能力可能同時影響教育程度和工資收入，如果模型中沒有控制個人能力，就會導(dǎo)致教育程度與誤差項相關(guān)。
• 雙向因果關(guān)系： 高工資收入也可能反過來激勵人們繼續(xù)接受教育。
  

我們可以使用“父母教育程度”（Parent Education）作為教育程度的工具變量來消除內(nèi)生性問題，因為它可能與個人的教育程度相關(guān)（父母教育程度高的子女更有可能接受更高的教育），但不太可能直接影響個人的工資收入（除非通過遺傳等其他途徑，但這種影響相對較弱，可以忽略不計）。

假設(shè)我現(xiàn)在有數(shù)據(jù)如下：

其中wage為因變量工資收入，education為自變量教育程度，parent_edu為工具變量父母教育程度。下面代碼便是這個例子中兩階段最小二乘的實操代碼

iv_model <- ivreg(wage ~ education | parent_edu, data = data) # |左邊是內(nèi)生變量，右邊是工具變量summary(iv_model, diagnostics = TRUE) #診斷信息，包括弱工具變量檢驗

代碼中要注意公式的寫法：ivreg(income ~ edu | paredu, data = data：

• income ~ edu: 表示要估計的模型，即收入是教育水平的函數(shù)。
• | paredu: 表示paredu是edu的工具變量。
  

運行代碼后輸出結(jié)果如下：

可以看到模型估計的自變量的系數(shù)為0.3461，并且是顯著的，意味著受教育程度確實會影響工資收入。

設(shè)置參數(shù)diagnostics = TRUE，會輸出一系列的檢驗結(jié)果：

• Weak instruments（弱工具變量檢驗）： 。F 統(tǒng)計量（First-stage F statistic）應(yīng)該足夠大（通常大于10），以避免弱工具變量問題。若F統(tǒng)計量過小，則說明工具變量與內(nèi)生變量的相關(guān)性不夠強，可能導(dǎo)致2SLS估計的偏差仍然很大。可以看到我們結(jié)果P很小，意思是拒絕了弱工具變量的原假設(shè)。
• Hausman test（豪斯曼檢驗）： 用于檢驗是否存在內(nèi)生性。原假設(shè)是OLS估計是有效的（即不存在內(nèi)生性）。如果豪斯曼檢驗拒絕原假設(shè)（p 值小于顯著性水平），則表明存在內(nèi)生性，需要使用工具變量回歸。可以看到結(jié)果中該檢驗p值大，說明確實存在內(nèi)生性需要做兩階段最小二乘。
• Sargan test（薩根檢驗或過度識別檢驗）： 僅當工具變量個數(shù)多于內(nèi)生變量個數(shù)時進行。檢驗工具變量的外生性是否成立。原假設(shè)是所有工具變量都是外生的。如果薩根檢驗拒絕原假設(shè)，則表明至少有一個工具變量不是外生的，模型設(shè)定存在問題。在本例中，只有一個工具變量，因此不會有Sargan檢驗。
  

總之，工具變量回歸是一種重要的計量經(jīng)濟學方法，用于解決內(nèi)生性問題。正確理解和使用工具變量回歸需要仔細考慮工具變量的選擇、檢驗和解釋。在實際應(yīng)用中，應(yīng)該結(jié)合具體的研究問題和數(shù)據(jù)情況，謹慎使用工具變量回歸。

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關(guān)鍵詞：工具變量 數(shù)據(jù)分析 instrumental econometrics Simultaneity

好文 學習了

好文！！多寫~

codewar 發(fā)表于 2024-12-25 21:32
前幾天看了個視頻，是2024年諾貝爾經(jīng)濟學獎得主在分享自己的研究，研究問題是“制度如何形成并影響經(jīng)濟繁榮 ...

好的好的好的好的好的好的好的好的好的好的

謝謝分享

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