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雷達(dá)卡
http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2010/2/228034.shtm?id=228034
（本文由盧小兵根據(jù)丘成桐先生2009年12月17日下午于清華大學(xué)的演講錄音整理）
序言
在牛頓（1642～1727）和萊布尼茨（1646～1716）發(fā)明微積分以后，數(shù)學(xué)產(chǎn)生了根本性的變化。在18到19世紀(jì)200年間，歐洲人才輩出，在這期間誕生的大數(shù)學(xué)家不可勝數(shù)，重要的有：尤拉（Euler，1707～1783），高斯（Gauss，1777～1855），阿貝爾（Abel，1802～1829），黎曼（Riemann，1826～1866），龐卡萊（Poincare，1854～1912），希爾伯特（Hilbert，1862～1943），格拉斯曼（Grassmann，1809～1877），傅立葉（Fourier，1768～1830），伽羅華（Galois，1811～1832），嘉當(dāng)（E.Cartan，1869～1951），伯努利（D. Bernoulli，1700～1782），克萊姆（G. Cramer，1704～1752），克萊羅（A. Clairaut，1713～1765），達(dá)朗貝爾（d’Alembert，1717～1783），蘭伯特（J. Lambert，1728～1777），華林（E. Waring，1734～1798），范德蒙德（Vandermonde，1735～1796），蒙日（Monge，1746～1818），拉格朗日（Lagrange，1736～1814），拉普拉斯（Laplace，1749～1827），勒讓德（Legendre，1752～1833），阿岡（R. Argand，1768～1822），柯西（Cauchy，1789～1857），莫比烏斯（M?觟bius，1790～1868），羅巴切夫斯基（Lobachevsky，1792～1856），格林（Green，1793～1841），波爾約（J. Bolyai，1802～1860），雅可比（Jacobi，1804～1851），狄利克雷（Dirichlet，1805～1859），哈密爾頓（W. Hamilton，1805～1865），劉維爾（Liouville，1809～1892），庫(kù)默爾（Kummer，1810～1893），魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815～1897），布爾（G. Boole，1815～1864），斯托克斯（G. Stokes，1819～1903），凱萊（Cayley，1821～1895），切比謝夫（Chebyshev，1821～1894），埃爾米特（Hermite，1822～1901），愛(ài)森斯坦（Eisenstein，1823～1852），克羅內(nèi)克（Kronecker，1823～1891），開(kāi)爾文（Kelvin，1824～1907），麥克斯威爾（J.Maxwell，1831～1879），富克斯（L. Fuchs，1833～1902），貝爾特拉米（E. Beltrami，1835～1900）等。
他們將數(shù)學(xué)和自然科學(xué)融合在一起，引進(jìn)了新的觀念，創(chuàng)造了新的學(xué)科。他們引進(jìn)的工具深?yuàn)W而有力，開(kāi)創(chuàng)了近300年來(lái)數(shù)學(xué)的主流。數(shù)學(xué)的發(fā)展更推進(jìn)了科學(xué)的前沿，使之成為現(xiàn)代文化的支柱。
在這期間，東方的數(shù)學(xué)卻反常地沉寂。無(wú)論中國(guó)、印度或者日本，在17世紀(jì)到19世紀(jì)這200年間，更無(wú)一個(gè)數(shù)學(xué)家的成就可望上述諸大師之項(xiàng)背。其間道理，值得深思。數(shù)學(xué)乃是科學(xué)的基礎(chǔ)，東方國(guó)家的數(shù)學(xué)不如西方，導(dǎo)致科學(xué)的成就不如西方，究竟是什么原因呢？這是一個(gè)大問(wèn)題。
這里我想討論一個(gè)現(xiàn)象：在明治維新以前，除了江戶(hù)時(shí)代關(guān)孝和（Takakazu Seki Kowa，1642～1708）創(chuàng)立行列式外，日本數(shù)學(xué)成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如中國(guó)，但到了19世紀(jì)末，中國(guó)數(shù)學(xué)反不如日本，這是什么原因呢？在這里，我們?cè)噲D用歷史來(lái)解釋這個(gè)現(xiàn)象。
19世紀(jì)中日接受西方數(shù)學(xué)的過(guò)程
1859年，中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭（1811～1882）和蘇格蘭傳教士偉烈亞力（Alexander Wyle，1815～1889）翻譯了由英國(guó)人De Morgan（1806～1871）所著13卷的《代數(shù)學(xué)》和美國(guó)人Elias Loomis所著18卷的《代微積拾級(jí)》。他們將歐幾里得的《幾何原本》全部翻譯出來(lái)，完成了明末徐光啟（1562～1633）與利瑪竇未竟之愿，在1857年出版。
就東方近代數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)說(shuō)，前兩本書(shū)（《代數(shù)學(xué)》、《代微積拾級(jí)》）有比較重要的意義，《代數(shù)學(xué)》引進(jìn)了近代代數(shù)，《幾何原本》、《代微積拾級(jí)》則引進(jìn)了解析幾何和微積分。
李善蘭本人對(duì)三角函數(shù)、反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示有所認(rèn)識(shí)，亦發(fā)現(xiàn)所謂尖錐體積術(shù)和費(fèi)爾馬小定理，可以說(shuō)是清末最杰出的數(shù)學(xué)家，但與歐陸大師的成就不能相比擬，沒(méi)有能力在微積分基礎(chǔ)上發(fā)展新的數(shù)學(xué)。
此后英人傅蘭雅（John Fryee，1839～1928）與中國(guó)人華蘅芳（1833～1902）也在1874年翻譯了英人華里司（William Wallis，1768～1843）所著的《代數(shù)術(shù)》25卷和《微積溯源》8卷，他翻譯的書(shū)有《三角數(shù)理》12卷和《決疑數(shù)學(xué)》10卷，后者由英人Galloway和Anderson著作，是介紹古典概率論的重要著作，在1896年出版。
這段時(shí)期的學(xué)者創(chuàng)造了中國(guó)以后通用的數(shù)學(xué)名詞，也建造了一套符號(hào)系統(tǒng)（如積分的符號(hào)用禾字代替）。他們又用干支和天地人物對(duì)應(yīng)英文的26個(gè)字母，用二十八宿對(duì)應(yīng)希臘字母。
這些符號(hào)的引進(jìn)主要是為了適合中國(guó)國(guó)情，卻也成為中國(guó)學(xué)者吸收西方數(shù)學(xué)的一個(gè)嚴(yán)重障礙。事實(shí)上，在元朝時(shí)，中國(guó)已接觸到阿拉伯國(guó)家的數(shù)學(xué)，但沒(méi)有吸收它們保存的希臘數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)和它們的符號(hào)，這是一個(gè)憾事。
當(dāng)時(shí)翻譯的書(shū)籍使中國(guó)人接觸到比較近代的基本數(shù)學(xué)，尤其是微積分的引進(jìn)，更有其重要性。遺憾的是在中國(guó)洋務(wù)運(yùn)動(dòng)中占重要地位的京師同文館（1861）未將學(xué)習(xí)微積分作為重要項(xiàng)目。
而福州船政學(xué)堂（1866）則聘請(qǐng)了法國(guó)人L.Medord授課，有比較先進(jìn)的課程。1875年，福州船政學(xué)堂派學(xué)生到英法留學(xué)，如嚴(yán)復(fù)在1877年到英國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)，鄭守箴和林振峰到法國(guó)得到巴黎高等師范的學(xué)士學(xué)位，但對(duì)數(shù)學(xué)研究缺乏熱情，未窺近代數(shù)學(xué)堂奧。
日本數(shù)學(xué)在明治維新（1868年）以前雖有自身之創(chuàng)作，大致上深受中國(guó)和荷蘭的影響。1862年日本學(xué)者來(lái)華訪問(wèn)，帶回李善蘭等翻譯的《代數(shù)學(xué)》和《代微積拾級(jí)》，并且廣泛傳播。他們迅即開(kāi)始自己的翻譯，除用中譯本的公式和符號(hào)外，也利用西方的公式和符號(hào)。
明治天皇要求國(guó)民向全世界學(xué)習(xí)科學(xué)，他命令“和算廢止，洋算專(zhuān)用”，全盤(pán)學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)。除了派留學(xué)生到歐美留學(xué)外，甚至有一段時(shí)間聘請(qǐng)了3000個(gè)外國(guó)人到日本幫忙。日本和算學(xué)家如高久守靜等雖然極力抵制西學(xué)，但政府堅(jiān)持開(kāi)放，西學(xué)還是迅速普及，實(shí)力迅速超過(guò)中國(guó)。
日本人冢本明毅在1872年完成《代數(shù)學(xué)》的日文譯本，福田半則完成《代微積拾級(jí)》的日文譯本，此外還有大村一秀和神田孝平。神田在1865年已經(jīng)完成《代微積拾級(jí)》的譯本，還修改了中譯本的錯(cuò)誤，并加上荷蘭文的公式和計(jì)算。日本人治學(xué)用心，由此可見(jiàn)一斑。
此后日本人不但直接翻譯英文和荷蘭文的數(shù)學(xué)書(shū)，F(xiàn)ukuda Jikin還有自己的著作，例如Fukuda Jikin在1880年完成《筆算微積入門(mén)》的著作。
日本早期數(shù)學(xué)受荷蘭和中國(guó)影響，明治維新期間則受到英國(guó)影響，其間有兩個(gè)啟蒙的數(shù)學(xué)家，第一個(gè)是菊池大麓（Dairoku Kikuchi，1855～1917），第二個(gè)是藤?zèng)g利喜太郎（Rikitaro Fujisawa，1861～1933），他們都在日本帝國(guó)大學(xué)（Imperial University）的科學(xué)學(xué)院（The Science College）做教授，這間大學(xué)以后改名為東京大學(xué)（日本京都帝國(guó)大學(xué)到1897年才成立）。
菊池在英國(guó)劍橋大學(xué)讀幾何學(xué)，他的父親是Edo時(shí)代的蘭學(xué)家（Dutch Scholar），當(dāng)時(shí)英國(guó)剛引進(jìn)射影幾何，他就學(xué)習(xí)幾何學(xué)，并在班上一直保持第一名，他和同班同學(xué)雖然競(jìng)爭(zhēng)劇烈，卻彼此尊重。
根據(jù)菊池的傳記，說(shuō)他一生不能忘懷這種英國(guó)紳士的作風(fēng)，以后他位尊權(quán)重，影響了日本學(xué)者治學(xué)的風(fēng)骨。
他在劍橋得到學(xué)士和碩士，在1877年回到日本，成為日本第一個(gè)數(shù)學(xué)教授，日本的射影幾何傳統(tǒng)應(yīng)該是由他而起，以后中國(guó)數(shù)學(xué)家蘇步青留日學(xué)習(xí)射影、微分幾何，就是繼承這個(gè)傳統(tǒng)。
菊池家學(xué)淵源，親戚、兒子都成為日本重要的學(xué)者，他在東京帝國(guó)大學(xué)做過(guò)理學(xué)院長(zhǎng)、校長(zhǎng)，也做過(guò)教育部長(zhǎng)、京都帝大校長(zhǎng)、帝國(guó)學(xué)院（Academy）的院長(zhǎng)。
他對(duì)明治維新學(xué)術(shù)發(fā)展有極重要的貢獻(xiàn)，他思想開(kāi)放，甚至有一陣子用英文授課。
藤?zèng)g利喜太郎在1877年進(jìn)入日本帝國(guó)大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和天文，正好也是菊池在帝大開(kāi)始做教授那一年。他父親也是蘭學(xué)家，在菊池的指導(dǎo)下，他在東京大學(xué)學(xué)習(xí)了五年時(shí)間，然后到倫敦大學(xué)念書(shū)，數(shù)個(gè)月后再到德國(guó)柏林和法國(guó)的 Strasbourg。在柏林時(shí)，他師從庫(kù)默爾（Kummer）、克羅內(nèi)克（Kronecker）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass），這些人都是一代大師。
藤?zèng)g利喜太郎1887年回到日本，開(kāi)始將德國(guó)大學(xué)做研究的風(fēng)氣帶回日本。他精通橢圓函數(shù)論，寫(xiě)了14篇文章，并于1925年成為日本參議員，于1932年當(dāng)選為日本的院士。
菊池和藤?zèng)g利喜太郎除了對(duì)日本高等教育有重要貢獻(xiàn)外，也對(duì)中學(xué)和女子教育有貢獻(xiàn)，編寫(xiě)了多本教科書(shū)。
20世紀(jì)初葉的日本和中國(guó)數(shù)學(xué)
1.日本數(shù)學(xué)
20世紀(jì)初葉最重要的日本數(shù)學(xué)家有林鶴一（Tsuruichi Hayashi，1873～1935）和高木貞治（Teiji Takagi，1875～1960）。林鶴一創(chuàng)辦了東北帝國(guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)系，并用自己的收入創(chuàng)辦了Tohoku數(shù)學(xué)雜志。
但日本近代數(shù)學(xué)的奠基人應(yīng)該是高木貞治。他在農(nóng)村長(zhǎng)大，父親為會(huì)計(jì)師。他在1886年進(jìn)中學(xué)，用的教科書(shū)有由Todhunter寫(xiě)的Algebra for Beginners和由Wilson寫(xiě)的Geometry。到了1891年，他進(jìn)入京都的第三高中，三年后他到東京帝大讀數(shù)學(xué)。
根據(jù)高木的自述，他在大學(xué)的書(shū)本為Durègi寫(xiě)的《橢圓函數(shù)》和Salmon寫(xiě)的《代數(shù)曲線(xiàn)》，他不知道這些書(shū)籍與射影幾何息息相關(guān)。當(dāng)時(shí)菊池當(dāng)教育部長(zhǎng)，每周只能花幾個(gè)小時(shí)授課，因此由藤?zèng)g主管，用德國(guó)式的方法來(lái)教育學(xué)生。他給學(xué)生傳授Kronecker以代數(shù)學(xué)為中心的思想。高木從Serret寫(xiě)的Algebra Supérieure（法語(yǔ)）書(shū)中學(xué)習(xí)阿貝爾方程，并且學(xué)習(xí)H. Weber剛完成的兩本關(guān)于代數(shù)學(xué)的名著。
1898年，高木離開(kāi)日本到德國(guó)柏林師從Frobenius，當(dāng)時(shí)Fuchs和Schwarz還健在，學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然和日本相差不大，但與名師相處，氣氛確實(shí)不同。
1900年，高木訪問(wèn)G?觟ttingen（哥廷根），見(jiàn)到了數(shù)學(xué)大師Klein和Hilbert。歐洲年輕的數(shù)學(xué)家大多聚集在此，討論自己的創(chuàng)作。高木自嘆日本數(shù)學(xué)不如此地遠(yuǎn)甚，相距有半個(gè)世紀(jì)之多。然而一年半以后，他大有進(jìn)步，能感覺(jué)自如矣。可見(jiàn)學(xué)術(shù)氣氛對(duì)培養(yǎng)學(xué)者的重要性。
高木師從Hilbert，學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論，印象深刻。他研究Lemniscate函數(shù)的complex multiplication。他在1903年完成博士論文，由東京大學(xué)授予博士學(xué)位（1900年時(shí)東京大學(xué)已經(jīng)聘請(qǐng)他為副教授）。
1901年，高木回到東京，將Hilbert在G?觟ttingen（哥廷根）領(lǐng)導(dǎo)研究的方法帶回東京大學(xué)，他認(rèn)為研討會(huì)（Colloquia）這種觀念對(duì)于科研至為重要，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)系必須有自己的圖書(shū)館和喝茶討論學(xué)問(wèn)的地方。1904年他被升等為教授，教學(xué)和研究并重。他的著作亦包括不少教科書(shū)，對(duì)日本數(shù)學(xué)發(fā)展有很深入的影響。
1914年第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)，日本科學(xué)界與西方隔絕，他不以為苦，認(rèn)為短期的學(xué)術(shù)封閉對(duì)他反而有很大的幫助，可以靜下心來(lái)深入考慮class field理論。在這期間，他發(fā)現(xiàn)Hilbert理論有不足之處，在1920年Strasbourg世界數(shù)學(xué)大會(huì)中，他發(fā)表了新的理論。兩年后他的論文得到Siegel的賞識(shí)，建議Artin（Emil Artin）去研讀，Artin（Emil Artin）因此推導(dǎo)了最一般的互反律，完成了近代class field理論的偉大杰作。
高木的學(xué)生彌永昌吉（Shokichi Iyanaga）于1931年在東京帝國(guó)大學(xué)畢業(yè)，到過(guò)法德兩國(guó)，跟隨過(guò)Artin，在1942年成為東京大學(xué)教授。他的學(xué)生眾多，影響至巨。
日本在上世紀(jì)30年代以后60年代以前著名的學(xué)者有如下幾位：
東京大學(xué)畢業(yè)的有：吉田耕作（Kosaku Yoshida，1931），中山傳司（Tadashi Nakayama，1935），伊藤清（Kiyoshi Ito，1938），巖堀永吉（Nagayoshi Iwahori，1948），小平邦彥（Kunihiko Kodaira，1949），加藤敏夫（Tosio Kato，1951），佐藤斡夫（Mikio Sato，1952），志村五郎（Goro Shimura，1952），鈴木道雄（Michio Suzuki，1952），谷山豐（Yutaka Taniyama，1953），玉河恒夫（Tsuneo Tamagawa，1954），佐竹一郎（Ichiro Satake，1950），伊原康�。╕asutaka Ihara）；京都大學(xué)畢業(yè)的有：岡潔（Kiyoshi Oka，1924），秋月康夫（Yasuo Akizuki，1926），中野重雄 （Shigeo Nakano），戶(hù)田蘆原（Hiroshi Toda），山口直哉（Naoya Yamaguchi），溝沺茂（Sigeru Mizohata），荒木不二洋（Fujihiro raki），廣中平佑（Heisuke Hironaka 碩士，1953），永田雅宜（Masayoshi Nagata 博士，1950）；名古屋大學(xué)畢業(yè)的有：角谷靜夫（Shizuo Kakutani，1941），倉(cāng)西正武（Masatake Kuranishi，1948），東谷五郎（Goro Azumaya，1949），森田紀(jì)一（Ki～iti Morita，1950）；東北大學(xué)畢業(yè)的有：洼田忠彥（Tadahiko Kubota，1915），茂雄佐佐木（Shigeo Sasaki，1935）；大阪大學(xué)畢業(yè)的有：村上真悟（Shingo Murakami），橫田洋松（Yozo Matsushima，1942）。
東京大學(xué)和京都大學(xué)的學(xué)者繼承了高木開(kāi)始的傳統(tǒng)，與西方學(xué)者一同創(chuàng)造了20世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)宏大的基礎(chǔ)，這些學(xué)者大都可以說(shuō)是數(shù)學(xué)史上的巨人。
其中小平邦彥和廣中平佑都是Fields medal（菲爾茨獎(jiǎng)）的獲得者，他們都在美國(guó)有相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間，廣中平佑在哈佛大學(xué)得到博士，20世紀(jì)90年代后回日本。小平邦彥則在1967年回國(guó)，他在美國(guó)有4位博士生，而在日本則有13位之多，著名的有K.Ueno，E.Horikawa，I.Nakamura，F(xiàn).Sakai，Y.Miyaoka，T.Fujita，T.Katsura等，奠定了日本代數(shù)幾何的發(fā)展。
M.Sato的學(xué)生有T.Kawai、T.Miwa、M.Jimbo和M.Kashiwara，都是代數(shù)分析和可積系統(tǒng)的大師。Nagata的學(xué)生有S.Mori、S.Mukai、M.Maruyama。其中Mori更得到菲爾茨獎(jiǎng)。
2.中國(guó)數(shù)學(xué)
李善蘭（1811～1882）和偉烈亞力翻譯Loomis的《微積分》以后，數(shù)學(xué)發(fā)展不如日本，京師同文館（1861年創(chuàng)辦）和福州船政學(xué)堂（1866年創(chuàng)辦）課程表都有微積分，但影響不大。
嚴(yán)復(fù)（1854～1921）畢業(yè)于福州船政學(xué)堂后到樸茨茅斯和格林威治海軍專(zhuān)門(mén)學(xué)校讀數(shù)學(xué)和工程，卻未遇數(shù)學(xué)名家。容閎（1828～1912）在1871年帶領(lǐng)幼童赴美留學(xué)，以工程為主，回國(guó)后亦未能在數(shù)學(xué)和科技上發(fā)展所長(zhǎng)。
甲午戰(zhàn)爭(zhēng)后，中國(guó)派遣大量留學(xué)生到日本留學(xué)，在1901年張之洞和劉坤一上書(shū)光緒皇帝：“……切托日本文部參謀部陸軍省代我籌計(jì)，酌批大中小學(xué)各種速成教法，以應(yīng)急需�！�
1906年，留日學(xué)生已達(dá)到8000人，同時(shí)又聘請(qǐng)大量日本教師到中國(guó)教學(xué)。馮祖荀大概是最早到日本念數(shù)學(xué)的留學(xué)生，他在1904年就讀于京都帝國(guó)大學(xué)，回國(guó)后，他在1913年創(chuàng)辦北京大學(xué)數(shù)學(xué)系。
1902年，周到達(dá)日本考察其數(shù)學(xué)，訪問(wèn)日本數(shù)學(xué)家上野清和長(zhǎng)澤龜之助，發(fā)表了《調(diào)查日本算學(xué)記》，記錄了日本官校三年制理科大學(xué)的數(shù)學(xué)課程：
第一年：微分、積分、立體及平面解析幾何，初籌算學(xué)、星學(xué)及最小二乘法、理論物理學(xué)初步，理論學(xué)演習(xí)、算學(xué)演習(xí)。
第二年：一般函數(shù)論及代數(shù)學(xué)、力學(xué)、算學(xué)演習(xí)、物理學(xué)實(shí)驗(yàn)。
第三年：一般函數(shù)論及橢圓函數(shù)論、高等幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、高等微分方程論、高等解析雜論、力學(xué)、變分法、算學(xué)研究。
這些課程，除了沒(méi)有包括20世紀(jì)才出現(xiàn)的拓樸學(xué)外，其內(nèi)容與當(dāng)今名校的課程不遑多讓。中國(guó)當(dāng)時(shí)大學(xué)還在萌芽階段，更談不上這樣有深度的內(nèi)容。
周達(dá)又從與上野清交流中得知華蘅芳翻譯《代數(shù)術(shù)》時(shí)不應(yīng)刪除習(xí)題。周達(dá)的三子周煒良以后成為中國(guó)20世紀(jì)最偉大的代數(shù)幾何學(xué)家。
現(xiàn)在看來(lái)，全面學(xué)習(xí)日本不見(jiàn)得是當(dāng)年洋務(wù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)明智選擇，日本在19世紀(jì)末、20世紀(jì)之交期間的科學(xué)雖然大有進(jìn)步，但與歐洲還有一大段距離。中國(guó)為了節(jié)省用費(fèi)，舍遠(yuǎn)求近，固可理解，然而取法乎其中，鮮有得乎其上者。
緊接著中國(guó)開(kāi)始派學(xué)生到美國(guó)，其中有胡敦復(fù)（1886～1978）和鄭之蕃（1887～1963），前者在哈佛念書(shū)，后者在Cornell大學(xué)再到哈佛訪問(wèn)一年，他們兩人先后（1911和1920年）在清華大學(xué)任教，1927年清華大學(xué)成立數(shù)學(xué)系時(shí)，鄭之蕃任系主任。
在哈佛大學(xué)讀書(shū)的學(xué)生亦有秦汾，曾任北京大學(xué)教授，1935年中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)之發(fā)起人中有他們?nèi)�，胡敦�?fù)曾主持派送三批留美學(xué)生，共180人。
1909年美國(guó)退回庚子賠款，成立中國(guó)教育文化基金，列強(qiáng)跟進(jìn)后，中國(guó)留學(xué)歐美才開(kāi)始有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)劃。嚴(yán)格的選拔使得留學(xué)生質(zhì)素提高。哈佛大學(xué)仍然是當(dāng)時(shí)中國(guó)留學(xué)生的主要留學(xué)對(duì)象，胡明復(fù)（1891～1927）是中國(guó)第一個(gè)數(shù)學(xué)博士，從事積分方程研究，跟隨Osgood和B?觝cher。第二位在哈佛讀書(shū)的中國(guó)數(shù)學(xué)博士是姜立夫（1890～1978），他跟隨Coolidge，念的是幾何學(xué)。
俞大維（1897～1993）也在哈佛哲學(xué)系跟隨Sheffer和Lewis讀數(shù)理邏輯，在1922年得到哲學(xué)系的博士學(xué)位。劉晉年（1904～1968）跟隨Birkhoff在1929年得到博士學(xué)位。江澤涵（1902～1994）跟隨Morse學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)，1930年得到博士學(xué)位。申又棖（1901～1978）跟隨Walsh學(xué)習(xí)分析，1934年得到博士學(xué)位。
芝加哥大學(xué)亦是中國(guó)留美學(xué)生的一個(gè)重要地點(diǎn)，其中楊武之（1896～1973）師從Dickson讀數(shù)論，1926年得到博士。孫光遠(yuǎn)跟隨Ernest Lane讀射影微分幾何，1928年獲得博士。胡坤升跟隨Bliss學(xué)分析，1932年獲得博士。此外在芝加哥獲得博士學(xué)位的還有曾遠(yuǎn)榮和黃汝琪，先后在1933和1937年得到博士學(xué)位。
除了哈佛和芝加哥兩所大學(xué)外，中國(guó)留學(xué)生在美國(guó)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位的還有：20世紀(jì)20年代，孫榮（1921，Syracuse）、曾昭安（1925，Columbia）；30年代，胡金昌（1932，加州大學(xué)）、劉叔廷（1930，密歇根）、張鴻基（1933，密歇根）、袁丕濟(jì)（1933，密歇根）、周西屏（1933，密歇根）、沈青來(lái)（1935，密歇根）。
留法的博士有：劉俊賢（1930）在里昂大學(xué)研究復(fù)函數(shù)；范會(huì)國(guó)（1930）在巴黎大學(xué)研究函數(shù)論；趙進(jìn)義（1927）在里昂大學(xué)研究函數(shù)論。
留法諸人中最具影響力的是熊慶來(lái)，他1926年到清華任教，1928年做系主任，1932年到法國(guó)留學(xué)，1933年獲得法國(guó)國(guó)家理科博士學(xué)位后，在1934年回國(guó)繼續(xù)任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。他的著名的學(xué)生有楊樂(lè)和張廣厚，奠定了中國(guó)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)。
德法兩國(guó)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)領(lǐng)導(dǎo)全世界，Courant在G?觟ttingen（哥廷根）大學(xué)帶領(lǐng)了不少中國(guó)數(shù)學(xué)家，例如魏時(shí)珍（1925）、朱公謹(jǐn)（1927）、蔣碩民（1934），論文都在微分方程這個(gè)領(lǐng)域。
曾炯之（1898～1940）在哥廷根大學(xué)師事Noether，1934年得到博士學(xué)位，他的論文在數(shù)學(xué)上有重要貢獻(xiàn)。程毓淮（1910～1995）亦在哥廷根得到博士學(xué)位，研究分析學(xué)。1935年夏，吳大任到德國(guó)漢堡，與陳省身第三次同學(xué)，在布拉施克教授指導(dǎo)下做研究，1937年回國(guó)。
留學(xué)日本的有陳建功（1882～1971），在東北大學(xué)師從藤原松三郎研究三角級(jí)數(shù)，1929年獲得博士；蘇步青（1902～2003）在東北大學(xué)師從洼田忠彥學(xué)習(xí)射影微分幾何，1931年獲得博士，回國(guó)后陳建功和蘇步青先后任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。
蘇步青的著名學(xué)生有熊全治、谷超豪、胡和生。留日的還有李國(guó)平、楊永芳、余潛修、李文清等人。
總的來(lái)說(shuō)，中國(guó)第一批得到博士學(xué)位的留學(xué)生大部分都回國(guó)服務(wù)，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)起了奠基性的作用。在代數(shù)方面有曾炯之，在數(shù)論方向有楊武之，在分析方面有熊慶來(lái)、陳建功、胡明復(fù)、朱公謹(jǐn)，在幾何方面有姜立夫、孫光遠(yuǎn)、蘇步青，在拓?fù)鋵W(xué)方面有江澤涵。
江澤涵成為北京大學(xué)系主任，姜立夫在1920年創(chuàng)辦南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)系，孫光遠(yuǎn)成為中央大學(xué)系主任，陳建功成為浙江大學(xué)系主任，曾昭安成為武漢大學(xué)系主任。
通過(guò)他們的關(guān)系，中國(guó)還邀請(qǐng)到Hadamard、Weiner、Blaschke、Sperner、G.D.Birkhoff、Osgood等大數(shù)學(xué)家訪華，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展有極大影響力。在此以前，法國(guó)數(shù)學(xué)家Painlevé和英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素在1920年和1921年間訪問(wèn)中國(guó)，但影響不如以上諸人。
緊跟著下一代的數(shù)學(xué)家就有陳省身、華羅庚、周煒良等一代大師，他們的興起意味著中國(guó)數(shù)學(xué)開(kāi)始進(jìn)入世界數(shù)學(xué)的舞臺(tái)。許寶騄在1935年畢業(yè)于清華大學(xué)，成為中國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)始人，他的工作在世界統(tǒng)計(jì)學(xué)界占有一席地位。在西南聯(lián)大時(shí)，他們也培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，其中包括王憲忠、萬(wàn)哲先、嚴(yán)志達(dá)、鐘開(kāi)萊等人。馮康則在中央大學(xué)畢業(yè)，成為有限元計(jì)算法的創(chuàng)始人之一。
稍后浙江大學(xué)則有谷超豪、楊忠道、夏道行、胡和生、王元、石鐘慈等。在中央研究院時(shí)，培養(yǎng)的杰出學(xué)生還有吳文俊等人。其中陳省身、華羅庚、許寶騄等都是清華的學(xué)生，也是我尊重的中國(guó)學(xué)者。陳省身在海外的學(xué)生有廖山濤、鄭紹遠(yuǎn)等。華羅庚則在解放初年回國(guó)后，帶領(lǐng)陸啟鏗、陳景潤(rùn)等諸多杰出學(xué)者，成為新中國(guó)數(shù)學(xué)的奠基者。
結(jié)語(yǔ)
與日本比較，中國(guó)近代數(shù)學(xué)的奠基可以說(shuō)是緩慢而遲滯的，微積分的引進(jìn)早于日本，卻被日本反超。這與日本政府在1868年明治維新公開(kāi)要求百姓全面向西方學(xué)習(xí)有一定的關(guān)系。中國(guó)人直到現(xiàn)在還不能忘懷“中學(xué)為體，西學(xué)為用”的信念，因此在追求真理的態(tài)度上始終不能全面以赴。
菊池等在英國(guó)除了學(xué)習(xí)幾何和分析外，也將英國(guó)的紳士（gentleman）精神帶回本國(guó)學(xué)術(shù)界，高木貞治師從德國(guó)大師，成功地將哥廷根的數(shù)學(xué)研究和研究方法傳到東京大學(xué)，回國(guó)15年后，他本人的研究亦臻世界一流，他對(duì)數(shù)學(xué)的熱情非當(dāng)時(shí)中國(guó)諸公可比擬。事實(shí)上，中國(guó)留學(xué)生在1935年以前的論文能夠傳世的，大概只有曾炯之的曾氏定理。不幸的是，曾炯之回國(guó)后未受到重視，很早就去世了。
從菊池開(kāi)始，留學(xué)生回日本國(guó)后得到政府重用，從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)做起，無(wú)論對(duì)中學(xué)還是對(duì)大學(xué)的教育都極為盡力（高木以一代大師之尊，竟然著作中學(xué)教科書(shū)14本之多）。到20世紀(jì)40年代已經(jīng)有多樣開(kāi)創(chuàng)性工作，與歐美諸國(guó)不遑多讓了。有一點(diǎn)值得中國(guó)注意的：基本上所有日本的名學(xué)者在做副教授以前都到歐美訪問(wèn)一段時(shí)間，直接接觸學(xué)問(wèn)的最前沿。
本人接觸過(guò)的日本數(shù)學(xué)大師有伊藤清、巖澤健吉、小平邦彥、加藤敏夫、志村五郎、佐竹一郎、廣中平佑等，都是謙謙君子，談吐言行都以學(xué)問(wèn)為主題，彌足敬佩。
反觀中國(guó)，早期學(xué)習(xí)西方，以應(yīng)用科技為主，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，一直到上世紀(jì)20年代，中國(guó)留學(xué)生還沒(méi)有認(rèn)識(shí)到當(dāng)代最先進(jìn)的數(shù)學(xué)，而在19世紀(jì)來(lái)華的傳教士，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)不深，中國(guó)學(xué)者沒(méi)有尋根究底，始終未接觸到學(xué)問(wèn)的前沿。在教育年輕學(xué)者方面也不如日本學(xué)者。中國(guó)留學(xué)生在甲午戰(zhàn)爭(zhēng)后以留日為主，在庚子賠款早期則以美國(guó)為主，亦有到德法的留學(xué)生。
在20世紀(jì)早期日美數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不如德法，而中國(guó)留學(xué)生卻以日美為主，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)留學(xué)政策未有把握到求學(xué)的最佳方向。幸而這些早期留學(xué)生學(xué)成后都回國(guó)服務(wù)，到40年代中國(guó)數(shù)學(xué)已經(jīng)奠基成功。
值得注意的是，日本和美國(guó)數(shù)學(xué)的迅速興起和他們的學(xué)習(xí)方法有密切的關(guān)系。一方面接受英國(guó)式的紳士教育，一方面又接受德國(guó)式研究型大學(xué)的精神，在以研究為高尚目標(biāo)的環(huán)境下，學(xué)者對(duì)學(xué)問(wèn)投入濃厚的興趣。
舉例來(lái)說(shuō)，中國(guó)留學(xué)生在哈佛留學(xué)的同時(shí)，哈佛的學(xué)生有Whitney和Morse研習(xí)拓?fù)�，Morrey和Doob研究方程學(xué)和概率論，他們都成為一代大師，但他們的中國(guó)同學(xué)回國(guó)后在數(shù)學(xué)上的造詣不逮他們遠(yuǎn)甚。
解放后在華羅庚教授帶領(lǐng)下，中國(guó)數(shù)學(xué)在某些方向已開(kāi)始進(jìn)入國(guó)際水平，“文革”后則元?dú)獯髠�，�?0年來(lái)在本國(guó)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)研究難與西方相比，而留學(xué)生中杰出者遠(yuǎn)不如陳、華、周諸大師，又不愿全面回國(guó)。本國(guó)培養(yǎng)的博士生，質(zhì)素好的有相當(dāng)大部分放洋去國(guó)，造成今日數(shù)學(xué)界的困境。
人才的引進(jìn)需要與本國(guó)的精英教育掛鉤。美國(guó)大學(xué)成功的重要因素在于本科生和研究生的培養(yǎng)，也就是孔子說(shuō)的教學(xué)相長(zhǎng)，有大師而無(wú)杰出的年輕學(xué)生，研究是無(wú)法深入的。沒(méi)有做學(xué)問(wèn)的熱情，沒(méi)有崇高的志愿，也不可能產(chǎn)生杰出的研究，這些熱情不是金錢(qián)可以購(gòu)買(mǎi)的。
這一段歷史給我們看到很多重要的事情，求學(xué)必須到精英薈萃之處認(rèn)真學(xué)習(xí)、不慕名利，教學(xué)相長(zhǎng)，庶幾近之。
近年來(lái)，中國(guó)高校學(xué)術(shù)抄襲、作假之事不斷，這種學(xué)風(fēng)不改，中國(guó)數(shù)學(xué)要趕上世界水平，恐怕還有相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間。
然而政府已經(jīng)決定對(duì)培養(yǎng)人才投入更多的經(jīng)費(fèi)，希望在公元2020年前成為人才大國(guó)，在經(jīng)費(fèi)充裕和年輕一代得到重用的背景下，我深信中國(guó)學(xué)術(shù)環(huán)境會(huì)有大改變，很快就會(huì)迎頭趕上最先進(jìn)的國(guó)家。但是百年樹(shù)人，一方面要大力投入，一方面也要有耐心，學(xué)問(wèn)才能做好。
近年來(lái)韓國(guó)和越南政府開(kāi)始大量投入基礎(chǔ)科學(xué)的研究，據(jù)估計(jì)，明年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)將會(huì)有從這些國(guó)家出身的年輕數(shù)學(xué)家得到菲爾茨獎(jiǎng)。他們的文化，與中國(guó)息息相關(guān)，中國(guó)何時(shí)才能夠在本土培養(yǎng)出這種水平的數(shù)學(xué)家，固然是政府和我們老百姓所關(guān)心的事情。
反過(guò)來(lái)說(shuō)，得到國(guó)際大獎(jiǎng)固是一個(gè)重要指標(biāo)，但在基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)或研究上，我們要看得更遠(yuǎn)更崇高，才能成就大事業(yè)，儒家說(shuō)“天人之際”，中國(guó)學(xué)者能夠達(dá)到這個(gè)境界，始無(wú)負(fù)于古圣先賢的教誨！
作為一個(gè)中國(guó)數(shù)學(xué)家，看著我們有些有能力有才華的學(xué)者為了蠅頭小利，竟?fàn)幍妙^破血流，不求上進(jìn)，使人感傷。很多有權(quán)位的學(xué)者，更以為自己代表泱泱大國(guó)，可以傲視一切，看不起第三世界的學(xué)者。然而“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退”，學(xué)問(wèn)的評(píng)判自有其客觀性，我們面對(duì)有學(xué)問(wèn)的專(zhuān)家時(shí)，自然知道自己的長(zhǎng)處和缺點(diǎn)。
漢唐時(shí)代，中國(guó)不單是經(jīng)濟(jì)軍事大國(guó)，也是文化大國(guó)，亞洲國(guó)家稱(chēng)中國(guó)為父母之國(guó)。經(jīng)過(guò)60年的建設(shè)，中國(guó)終于成為經(jīng)濟(jì)大國(guó)，在世界強(qiáng)國(guó)環(huán)伺下，舉足輕重。然而在數(shù)學(xué)研究上，我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上上世紀(jì)40和60年代陳、華領(lǐng)導(dǎo)的光景。
今日中國(guó)數(shù)學(xué)的前途，端賴(lài)于年輕一代數(shù)學(xué)家的培養(yǎng)，研究生的培養(yǎng)則溯源于中學(xué)生的教育。歷史上數(shù)學(xué)名家都在30歲前發(fā)表過(guò)重要工作，望政府留意焉。
50年前我讀《紅樓夢(mèng)》，雖然“不解其中意”，但是賈寶玉說(shuō)“何我堂堂須眉，誠(chéng)不若彼裙釵哉？”使我感慨良深。
今日我們?cè)谇迦A園重新燃燒起我國(guó)人對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，讓我們忘記了名利的追求，忘記了人與人間的糾紛，校與校間的競(jìng)爭(zhēng)，國(guó)與國(guó)間的競(jìng)爭(zhēng)。讓我們建立一個(gè)為學(xué)問(wèn)而學(xué)問(wèn)，一個(gè)熱烈追求真和美的數(shù)學(xué)中心，也希望在中央和學(xué)校的支持下，在我們國(guó)內(nèi)外朋友的幫助下，讓這個(gè)重新燃起的火光永恒不熄，也讓我們一起在數(shù)學(xué)史上留下值得紀(jì)念的痕跡。
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