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    [討論交流] 數(shù)學(xué)分析習(xí)題題練習(xí)四 [推廣有獎(jiǎng)]

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    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:39:32 |只看作者 |壇友微信交流群|倒序 |AI寫(xiě)論文
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    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:41:56 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
    xn-1.png

    解:
                    $\because |x_n|\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}< \frac{1}{2},$

                   又    $|x_n|\uparrow$,
                
                 因此,$\{|x_n|\}$收斂。而顯然有

                            $x_n\leq |x_n|$

                       所以,$\{x_n\}$收斂。

    藤椅
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:42:30 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
    xn-2.png

    解:1、是。
               
               因?yàn),由條件即有

                      $\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 > 0,\forall x_1,x_2\in (0,1),\exists \delta > 0,0< |x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                       $|f(x_1)-f(x_2)|< \varepsilon_1 ,|g(x_1)-g(x_2)|< \varepsilon_2,$

                 且$f(x),g(x)$有界。而此時(shí),
                         \begin{align*}|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|&=|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_1)+f(x_2)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\\\\&\leq g(x_2)|f(x_1)-f(x_2)|+f(x_2)|g(x_1)-g(x_2)|\\\\&\leq g(x_1)\varepsilon_1 +f(x_2)\varepsilon_2 =\varepsilon .(\varepsilon =\max \{\varepsilon _1,\varepsilon _2\})
    \end{align*}
               因此命題成立。
       
         2、不一定。如
                              $f(x)=x+1,g(x)=x.$
                    而$f(x)g(x)=x^2+x$非一致連續(xù)。理由如下:
    1.png 2.png

         3、是。
                     因?yàn)榇藭r(shí)有
                                  $|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\leq M|g(x_1)-g(x_2)|<M\varepsilon.$
                      



                  

    2.png (21.32 KB)

    2.png

    板凳
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:42:58 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
    xn-3.png

    解:
                 \begin{align*}\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{1-\cos x}}&=\lim_{x\to 0}\exp(\frac{1}{1-\cos x}\ln(\frac{\sin x}{x}))\\\\&=\lim_{x\to 0}\exp(\frac{\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}{\sin x}\cdot \frac{x}{\sin x})\\\\&=\lim_{x\to 0}\exp(\frac{x(1-\frac{1}{2!}x^2+o(x^2))-x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)}{x^3})\\\\&=-\frac{1}{3}.
    \end{align*}




    報(bào)紙
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:43:29 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
    xn-4.png


               分幾種情況:
                        當(dāng)$0< b<1$時(shí),有

                              $\because 1=\sqrt[n]{1}\leq \sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}\leq \sqrt[n]{3}=1,(n\to +\infty)$

                              $\therefore \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=1.$

                       當(dāng)$b=1$時(shí),有

                                 $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=\sqrt{2}.$

                       當(dāng)$1< b\leq 2$時(shí),則有

                                   $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=b.$

                        當(dāng)$1< b\leq 2$時(shí),得

                                   $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+b^n+(\frac{b^2}{2})^n}=\frac{b^2}{2}.$


    總結(jié)得:$\displaystyle\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=\max \{a_1,a_2,\cdots a_n\}.$



    地板
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:43:59 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
    xn-5.png

    證明:
                     假設(shè)所給函數(shù)為周期函數(shù),并設(shè)$T$為函數(shù)的最濁周期,則命題成立時(shí)有:
                         $f(x)=\sin^2x+\sin x^2=f(x+T)=\sin^2(x+T)+\sin(x+T)^2=\sin^2x+\sin(x^2+2Tx+T^2),$

                    也即應(yīng)該有

                         $f(x+T)-f(x)=0.$

                    而
                          \begin{align*}f(x+T)-f(x)&=\sin(x+T)^2-\sin x^2\\\\&=2\cos\frac{(x+T)^2+x^2}{2}\sin\frac{(x+T)^2-x^2}{2}\\\\&=2\cos\frac{(x+T)^2+x^2}{2}\sin\frac{(2x+T)T}{2}\\\\&\neq 0.
    \end{align*}

                    所以,函數(shù)式為非周期函數(shù)。


    7
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:44:25 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
    xn-6.png

    1.png





    8
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:44:53 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
    xn-7.png

    這種類(lèi)型的題,是多元函數(shù)可微,連續(xù)等的典型題,?。用定義解即可。



    9
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:45:22 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
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    解:由變換知
                           $x=u^{-\frac{1}{3}}v^\frac{4}{3},y=u^\frac{1}{3}v^\frac{2}{3},$

                           $|J|=\frac{2}{3}(\frac{v}{u})^\frac{1}{3}.$
          
                           $\frac{b^2}{a}\leq u\leq \frac{(b+h)^2}{a+h},\sqrt{ab}\leq v\leq \sqrt{(a+h)(b+h)},$

                $S'$的面積為
                           $S'=\frac{2}{3}\int_{\sqrt{ab}}^{\sqrt{(a+h)(b+h)}}vdv\int_{b^2/a}^{(b+h)^2/a+h}\frac{1}{u}du=\frac{1}{3}((a+h)(b+h)-ab)\ln(\frac{(b+h)^2}{a+h}\cdot \frac{a}{b^2}).$

                而變換閃后的面積之比的極限($h\to 0$)為

                           $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{S'}{S}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3}((a+h)(b+h)-ab)\ln(\frac{(b+h)^2}{a+h}\cdot \frac{a}{b^2})}{h^2}=\frac{1}{3}(a+b)(\frac{2}-\frac{1}{a}).$



    10
    hylpy1 在職認(rèn)證  發(fā)表于 2020-3-27 19:47:21 |只看作者 |壇友微信交流群
    西南交通大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題
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    證明:
               由已知,$f(x)$極限存在,所以有
                           $\forall x_1,x_2\in[a,+\infty),\forall \varepsilon_1,\varepsilon _2> 0,\exists K> 0,x_1,x_2> K,s.t.$

                            $|f(x_1)-A|< \varepsilon _1,|f(x_2)-A|< \varepsilon _2,$
                  取
                            $\varepsilon =\max\{\varepsilon _1,\varepsilon _2\},$

                            $\forall x_1,x_2\in[a,+\infty),x_1,x_2> K,\exists \delta > 0,|x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                            $|f(x_1)-f(x_2)|=|f(x_1)-A+A-f(x_2)|\leq |f(x_1)-A|+|f(x_2)-A|< \varepsilon _1+\varepsilon _2< \varepsilon .$
             
                  命題成立。



                

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