數(shù)學(xué)分析習(xí)題練習(xí)五

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數(shù)學(xué)分析習(xí)題練習(xí)五
目錄

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷----------------------1#~2#
西北大學(xué)2020數(shù)學(xué)分析試題------------------2#~3#
華中科技大學(xué)2016年競(jìng)賽模擬考試1---------3#~4#
2017模擬考試題(4)(韓)----------------------4#~5#
特殊三角求和公式------------------------------6#
楊州大學(xué)2020年601數(shù)學(xué)分析試題-----------6#~7#
西北大學(xué)2018數(shù)學(xué)分析試題------------------7#~8#
吉林大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析考研試題----------8#~9#
東北師范大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析試題------------10#
中國(guó)人民大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析試題---------10#~11#
鄭州大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析試題--------------11#~12#
重慶大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析試題--------------13#~14#
上海交通大學(xué)2016年數(shù)學(xué)分析試題---------14#~15#
上海交通大學(xué)2011年數(shù)學(xué)分析試題---------15#~16#
上海交通大學(xué)2012年數(shù)學(xué)分析試題---------16#~17#
上海交通大學(xué)2013年數(shù)學(xué)分析試題---------18#~19#
上海交通大學(xué)2014年數(shù)學(xué)分析試題---------19#~20#
上海交通大學(xué)2015年數(shù)學(xué)分析試題---------20#~21#
廣西民族大學(xué)2020年601數(shù)學(xué)分析----------21#~22#
同濟(jì)大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析考研真題---------22#~23#
陜西師范大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析試題---------23#~25#















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2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


1、解：
                由已知，可得

                                    $\displaystyle \because 3x-4\sin x+\sin x\cos x=3x-4x+o(x^3)+x+o(x^3)=O(x^n),(x\to 0)$

                                    $\displaystyle \therefore n=3.$

2、解：
               由Stolz公式，
                                    $\begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}\sin (x-t)^2dt}{\sin ^2x\ln(1-x)}&=\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}\sin (x-t)^2d(x-t)}{x^2\cdot (-x)}\\\\&=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{-3x^2}=-\frac{1}{3}.\end{align*}$

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


3、解
               由函數(shù)周期性可知，有
                                          $\displaystyle f(x-1)=f(x-5),$

              再由已知極限，得
                                          $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x-1)-2}{x^2-4}=\lim_{x\to 2}\frac{f(x-5)-2}{x^2-4}=\lim_{x\to 2}\frac{f'(x-5)}{2x}=\frac{f'(-3)}{4}=-\frac{1}{2}.$

                                            $\displaystyle \Rightarrow f(-3)=2,f'(-3)=-2.$

              因此，在所給點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：
                                             $\displaystyle y=-2(x+3)+2.$


4、解：
                 由漸近 線(xiàn)的定義，因?yàn)?br />
                                            $\displaystyle y=x\ln(e+\frac{1}{x})=x(e-1+\frac{1}{x})+o(\frac{1}{x^2}),(x\to \infty)$

                   所以，要求的漸近線(xiàn)為

                                           $\displaystyle y=(e-1)x+1.$



           

            

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


解：
         先求曲線(xiàn)的切向量

                                  $J=\begin{vmatrix}
F'_x &F'_y & F'_z\\
G'_x &G'_y  & G'_z
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
6x & 4y &-2 \\
2x & 2y-4 &2z-2
\end{vmatrix}$

                                  $J_{xy}=\begin{vmatrix}
6x &4y \\
2x & 2y-4
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
6 &4 \\
2 &-2
\end{vmatrix}=-20,$

                                 $J_{zx}=-\begin{vmatrix}
6x &-2 \\
2x & 2z-2
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
6 & -2\\
2 & 2
\end{vmatrix}=-16,$

                                 $J_{yz}=\begin{vmatrix}
4y & -2\\
2y-4 &2z-2
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
4 &-2 \\
-2 & 2
\end{vmatrix}=4.$

                故$L$在固定點(diǎn)處的切向量為：
                                    $\tau =(J_{yz},J_{xz},J_{xy})=(4,-16,-20)\rightarrow (1,-4,-5)$

                 因此，所求切線(xiàn)方程為：
                                     $x-1-4(y-1)-5(z-2)=0.$

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


解：
              由微分定義：
                                   $f(X_0+\Delta X)-f(X_0)=\sum \frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i+o(||x_i||)$

               可知，答案應(yīng)為：$A$


                  因?yàn)?br />                              $(B)(4)\nRightarrow (2);$

                             $(C)(2)\nRightarrow (4);$

                             $(D)(3)\nRightarrow (2).$

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


解：
                            $\displaystyle \because \frac{\partial z}{\partial x}=yf'_1+(\frac{1}{x}+yg')f'_2=yf'_1+\frac{1}{x}f'_2+yf'_2g',$

                                 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=xf'_1+xg'f'_2,$

                            $\displaystyle \therefore x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=f'_2.$

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


解：
                    $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{e^x-\sin x-\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{(1+\sqrt{1-x^2})(e^x-1-\sin x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2(x+\frac{1}{2}x^2-x)}=1.$

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


解：
             令：
                                $\sqrt{1-x}=t,dx=-2tdt,$

                                 $\begin{align*}\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{1-x}}&=\int_{0}^{1}\frac{-2tdt}{(2-t^2)t}\\\\&=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(\frac{1}{\sqrt{2}+t}+\frac{1}{\sqrt{2}-t})dt\\\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}\ln2.\end{align*}$

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


10、設(shè)函數(shù)$y=f（x）$在點(diǎn)$x_0$的鄰域內(nèi)有定義，則

                   $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

              稱(chēng)為函數(shù)在$x=x_0$外的導(dǎo)數(shù)。


11、設(shè)函數(shù)$f(x)$在$x_0$的鄰域$(a,b)$內(nèi)，$n+1$階可導(dǎo)，則其帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式為

                 $\begin{align*}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots \\\\&+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{1}{(n+1)!}f^{n+1}(\xi )(x-x_0)^{n+1},(\xi\in(a,b))\end{align*}$

2018數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷


解：
                           $\displaystyle \because \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{|x|}=1,e^x=1+x,$

                           $\displaystyle \therefore \lim_{x\to 0}(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})=\lim_{x\to 0}\frac{3+1+\frac{1}{x}+1+\frac{4}{x}}{2+\frac{4}{x}}=\frac{5}{4}.$