動態(tài)方差分解的工具變量辨識

我們的方法在不可逆轉(zhuǎn)的模型中繼續(xù)工作得很好，不像傳統(tǒng)的SVAR-IV程序。我們采用Kilian&Kim(2011)中DGP的一個變體，假設(shè)大集合yt遵循一個結(jié)構(gòu)VARMA(p,1）模型:yt=pp`=1à`yt-`+θ(εt+ζεt-1),我們考慮ny=2個宏觀變量，p=1個自回歸滯后（下面討論一個例外）,并設(shè)態(tài)態(tài)(du=ρy0.50.5.對于MA部分，我們考慮nε=2個激波（因此都是可恢復(fù)的）和集合θ=chol(10.80.81)，其中“chol”表示下三角archolesky分解。如第6.3節(jié)所述，ζ是一個標(biāo)量參數(shù)，支配可逆性的程度，ζ>1表示不可可逆性。我們對感興趣的激波ε1,t:zt=ρzzt-1+ρzy(y1,t-1+y2,t-1)+ε1,t+σvvt加入了一個外部儀器zt，注意我們對α=1進(jìn)行了歸一化。最后對測量誤差和結(jié)構(gòu)沖擊進(jìn)行了分析。我們對上述DGP的九個直接參數(shù)進(jìn)行了蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，特別是εT=-Rθ-1UT-1-R∞=1(-ζ）-θ-1UT+。具體來說，我們考慮了與基線參數(shù)化的各種偏差。在我們的基準(zhǔn)中，我們設(shè)置ρy=0.5,ρz=ρzy=0,ζ=0,σv=1,樣本量T=250。然后我們考慮具有較強(qiáng)的自回歸持久性(ρy=0.9,或ρz=0.8和ρzy=0.3)、可逆MA分量(ζ=0.5)、不可可逆MA分量(ζ=2)、較弱的儀器(σv=2)和不確定的樣本量(T=100,T=500)的變量。最后，我們給出了更豐富的動力學(xué)，當(dāng)j=2,3,4時，p=4和quj=jü.結(jié)果。我們感興趣的參數(shù)是可變y2的可逆度和FVR,tat層位1和4。我們在每個DGP中執(zhí)行5000次蒙特卡羅重復(fù)，并在90%的水平上使用1000次bootstrap繪制來構(gòu)造con interfection。我們使用homoskedastic遞歸殘差bootstrap�？s減形式的VAR滯后長度是使用AIC選擇的，我們使用霍爾的百分位數(shù)引導(dǎo)間隔，CF。第4節(jié)。表2顯示，第4節(jié)中規(guī)定的部分識別穩(wěn)健SVMA-IV識別集實(shí)現(xiàn)了接近或超過90%預(yù)期水平的覆蓋率。我們報(bào)告了人口識別集（列“set”）和基礎(chǔ)參數(shù)（列“param”）的覆蓋率。在任何情況下，參數(shù)的覆蓋率都不低于86.8%。在我們的實(shí)驗(yàn)中，識別集的覆蓋率大部分接近90%，最差的為82.9%。我們還報(bào)告了FVR的常規(guī)SVAR-IVbootstrap執(zhí)行間隔的覆蓋率（列“SVAR”）。我們的SVMA-IV程序的復(fù)蓋失真幾乎總是小于SVAR-IV程序的復(fù)蓋失真，最值得注意的是，我們的程序即使在非可逆情況下(ζ=2)，也有可接受的復(fù)蓋，而SVAR-IV程序在這種情況下嚴(yán)重地掩蓋了它。首先，如預(yù)期的那樣，在噪音較大/較弱的儀器(σv=2)下，覆蓋率略有惡化。我們的推理方法對任意弱的儀器(σv→∞)不是魯棒的；我們把這個問題留給以后的工作。其次，我們解決了邊界處的參數(shù)問題。對于大多數(shù)實(shí)驗(yàn)，r=1。這解釋了這個參數(shù)的con investence間隔的過度覆蓋，更少的是，對于整個identi investened集合的con investence間隔的過度覆蓋。如果真實(shí)的FVR接近0，類似的問題也會出現(xiàn)。第三，對于更持久的差分全球定位系統(tǒng)，AIC傾向于選擇一定數(shù)量的滯后，導(dǎo)致適度的覆蓋不足，尤其是對于地平線4的FVRs。例如，在p=4自回歸滯后的實(shí)驗(yàn)中，AIC選擇的平均滯后長度為2.2。然而，我們承認(rèn)，在只有輕度非可逆性的DGPs中，SVAR-IV方法可能比我們更穩(wěn)健的SVMA-IV方法更好，因?yàn)榍罢咝枰�估�?jì)的參數(shù)更少，而且只有輕微的偏差（參見。

應(yīng)用的宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)家最近轉(zhuǎn)向外生變異的外部來源，以確定動態(tài)因果關(guān)系。雖然這種外部工具或代理經(jīng)常被用來估計(jì)脈沖響應(yīng)，但現(xiàn)有的方法不允許研究人員量化單個沖擊對商業(yè)周期結(jié)果的貢獻(xiàn)--這是傳統(tǒng)商業(yè)周期分析中的一個順序問題。我們通過提供方差分解、歷史分解和可逆度的identifestival結(jié)果和推斷技術(shù)來彌補(bǔ)這一差距。我們的方法既不需要外部儀器中沒有測量誤差，也不需要通常可疑的假設(shè)，即儀器測量的激波是可逆的（就像傳統(tǒng)的SVAR分析中所假設(shè)的那樣）。我們證明了儀器化沖擊的重要性通常是區(qū)間的。如果已知該點(diǎn)是可恢復(fù)的--這是一個比可逆性弱得多的假設(shè)--就可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)識別。我們提供了一個軟件包來實(shí)現(xiàn)我們推理過程的所有步驟。將我們的方法應(yīng)用于美國的數(shù)據(jù)，盡管我們的識別假設(shè)很弱，但我們能夠在最近的波動動力學(xué)中對貨幣沖擊的重要性建立一個嚴(yán)格的上限。附錄1估計(jì)和推斷的公式在這里我們提供了第四節(jié)推斷程序所需的其余公式。..,apting VAR inwt=(yt,zt)的(ny+1)×(ny+1)Coe_cient矩陣估計(jì)。設(shè)∑，表示殘差樣本方差-協(xié)方差矩陣。設(shè)∑1/2去整數(shù)方陣，使得∑1/2∑1/20=∑，例如，Cholesky因子。使用常見的遞歸b=∑1/2,bh=pmin{h,p}=1a`bh-`,h≥1計(jì)算移動平均coe_cients b(L)(iny+1-pp`=1a`L`)-1∑1/2。用bz,h表示bhby的頂行，用bz,h表示底行。ThendVar(～zt)bz,0bz,0,dCov(～zt,yt+h)bz,0by,hif h≥0,1×ny，否則dCov(yt,yt-h)p∞`=0by,`by，`+hfor h≥0。在實(shí)踐中，我們以`的大值截?cái)嗌厦娴膇n_nite和�，F(xiàn)在取投影變量dVar(E(～zt{yτ}-∞<τ<∞))∑～z,y,(M,M)∑-1y,(M,M)∑-1y,(M,M)∑～z,y,y,(M,M)∑～z,y,(M,M)∑～z,y,(M,M)}-∞<τ≤t)dVar(yi,t)-(dCov(yi,t+`，yt),。.，dCov(yi,t+`,yt-m))b∑-1y,（M,0)×(dCov(yi,t+`,yt)，..,dCov(yi,t+`,yt-m)),dVar(E(～zt{yτ}-∞<τ≤t))(dCov(～zt,yt),01×nym)∑-1y，(M，0)(dCov(～zt,yt),01×nym),其中∑～z，y，(M，M)是~ztand(yt+M，)的估計(jì)協(xié)方差向量。...,yt，...,yt-m）通過堆疊上述估計(jì)dcov(～zt，yt+h)而獲得，∑y，(M，M)類似地是(yt+M，)的估計(jì)方差-協(xié)方差矩陣。...,yt，.，yt-m)和∑y，(M，0)是(yt，yt-1，)的估計(jì)方差-協(xié)方差矩陣。在這些公式中，整數(shù)M是數(shù)值截?cái)鄥��?shù)。例如，使用截?cái)嗟臈l件變量的估計(jì)來估計(jì)Var(E(～ZT{Yτ}-∞<τ<∞))，這些可替換地使用Kalman firefiilter來計(jì)算，但是相對于這里所述的公式，在數(shù)值精度或速度方面似乎沒有什么影響。Var(E(～ZT{Yτ}t-m≤τ≤t+m))。M應(yīng)至少超過50才能得到精確的近似值。我們建議檢查當(dāng)M增加時，數(shù)值結(jié)果沒有太大變化，因?yàn)榻財(cái)嗟膃例將取決于數(shù)據(jù)的持久性。a.2主要結(jié)果的證明。2.1輔助引理1。設(shè)B是n×n的Hermitian正解復(fù)值矩陣和ban n維復(fù)值列向量。設(shè)x是非負(fù)實(shí)標(biāo)量。則b-x-1bb*為正（半）解當(dāng)且僅當(dāng)x>(≥)b*b-1b。請查閱附錄B.9.1.A.2.2中的證明，命題1的證明，讓α和譜sw(ω)給出。定義NY維向量θo,1,`=α-1 cov(yt,～zt-`),`≥0,以及相應(yīng)的向量滯后多項(xiàng)式θo,1(L)=∞x`=0θo,1,`L`。由于α≤αub,我們可以定義σv=pvar(～zt)-α。

由于α>αlb，引理1意味著對于每個ω∈[0,2π]，atsy(ω)-2παsy～z(ω)sy～z(ω)=sy(ω)-2πθo,1(E-Iω)θo,1(E-Iω)*是正的。因此，Wold分解定理(Hannan，1970,THM.第2頁。158）暗示存在一個ny×nymatrix滯后多項(xiàng)式～θ(L)=p∞`=0～θ`L`,即sy(ω)-2πθo,1(E-Iω)θo,1(E-Iω)π=2π～θ(E-Iω)～θ(E-Iω)*,ω∈[0,2π]。我們可以排除Wold分解中的確定性項(xiàng)，因?yàn)檫B續(xù)的正態(tài)分布的譜密度滿足Hannan(1970,p）的滿秩條件。162）。因此，wt=(yt，～zt)的以下模型生成所需的譜sw(ω):yt=θo,1(L)ε1,t+～θ(L)～εt,～zt=αε1,t+σvvt,(ε1,t，～εt，vt)i.i.D.N(0,iny+2)。注意，該構(gòu)造只需要Nε=ny+1個激波，ε1,t∈R和～εt∈Rny.a.2.3對R的命題2識別集的證明。如果identied集包含1,則必須存在α∈[αlb,αub]和i.i.d.獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯過程ε1,tand vt，使得(i)～ZT=α×ε1,t+vt,(ii)所有導(dǎo)聯(lián)和滯后與ytat不相關(guān)，(iii)ε1在{yτ}-∞<τ≤t的線性范圍內(nèi)成正比。這立即意味著“僅當(dāng)”聲明。對于“如果”部分，假設(shè)~ZTdos not Granger原因YT。根據(jù)Sims和Granger因果關(guān)系的等價性，～z_t=E(～z_t{yτ}-∞<τ<∞)=E(～z_t{yτ}-∞<τ≤t)。注意，最近最好的線性預(yù)測器是白噪聲，因?yàn)閷τ谌魏蝋≥1，cove(～zt{yτ}-∞<τ≤t)，yt-`=Cov(～zt,yt-`)-Cov～zt-e(～zt{yτ}-∞<τ≤t)，yt-`=0-0，使用的事實(shí)是～ztis是投影殘差。結(jié)論表明，最佳線性預(yù)測器~z_∞tof~zt給定{yτ}-∞<τ<∞只依賴于{yτ}-∞<τ≤t，且具有恒定譜。從αlb的表達(dá)式中，我們得到αlb=Var(E(～zt{yτ}-∞<τ≤t))。因此，表達(dá)式（17）暗示了R∞的Requals1.識別集的Identi的上界。當(dāng)且僅當(dāng)2πsupω∈[0,π]s～z~(ω)=Var(E(～ZT{yτ}-∞<τ<∞))時，Identi集的上界等于1。這個方程的右手邊等于Var(～z\\t)=r2πs～z\\(ω)dω。但是supω∈[0,π]s～z_8~(ω)=2πr2πs~z_8~(ω)dω，當(dāng)且僅當(dāng)s~z_8~(ω)在ω-幾乎處處為常數(shù)，即~z_8~tis白噪聲。參考安德魯，d.w.&施，X.(2013)�；�于條件矩不等式的推論。經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)，81(2)，609-666.安德魯斯，D.W.&施X.(2017).基于多個條件矩不等式的推論。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志，196(2)，275-287.博德里，P.&波蒂埃，F(xiàn).(2006)。股票價格、新聞和經(jīng)濟(jì)波動�！睹绹�經(jīng)濟(jì)評論》，96(4)，1293-1307.博德里，P.&波蒂埃，F(xiàn).(2014)。《新聞驅(qū)動的商業(yè)周期：洞察與挑戰(zhàn)》，《經(jīng)濟(jì)文獻(xiàn)學(xué)報(bào)》，52(4)，993-1074.布蘭查德，O.J.，L\'Huillier，J.P.&Lorenzoni，G.(2013)。新聞、噪音與波動：一個經(jīng)驗(yàn)的探索�！睹绹�經(jīng)濟(jì)評論》，103(7)，3045-3070.布洛克威爾，P.J.&戴維斯，R.A.(1991)。時間序列：理論與方法（第2版）。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的SpringerSeries。斯普林格�？�爾達(dá)拉，D.&赫布斯特，E.(2019)。貨幣政策、實(shí)際活動與信用利差：來自貝葉斯代理SVARS的證據(jù)�！睹绹�經(jīng)濟(jì)雜志：宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》，11(1)，157-92.坎貝爾，J.R.，埃文斯，C.L.，費(fèi)舍爾，J.D.M.，賈斯蒂尼亞諾，A.(2012)。宏觀經(jīng)濟(jì)對美聯(lián)儲前瞻性指導(dǎo)的作用。布魯金斯關(guān)于經(jīng)濟(jì)活動的論文，2012年（春季），1-80。查魯爾，R&Jurado，K.(2021)。可恢復(fù)性和預(yù)期驅(qū)動的波動。經(jīng)濟(jì)研究回顧。即將出版。Chernozhukov,V,Lee,S,&Rosen,A.M.（2013）。交集界：估計(jì)和推斷�！督�(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)》，81(2)，667-737。Christiano,L.,Eichenbaum,M.和Evans,C.（1999）。貨幣政策沖擊：我們學(xué)到了什么？載于J.B.Taylor和M.Woodford合編的《宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)手冊》第1A卷第2章（第65-148頁）。Elsevier.Cochrane，J.H.&Piazzesi，M.(2002)。美聯(lián)儲和利率--一個高頻事件�！睹绹�經(jīng)濟(jì)評論》，92(2)，90-95.福爾尼，M.&Gambetti,L.(2014)。結(jié)構(gòu)變量中的信息。

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39B.9.6篩選變量結(jié)果的輔助引理。......................40B.9.7引理B.3的證明。.................................42B.9.8引理B.4的證明。.................................42B.9.9引理B.6的證明。.................................44B.9.10引理B.7的證明。.................................45B.9.11引理B.8的證明。.................................47B.9.12引理B.9的證明。.................................49B.9.13引理B.10的證明。...............................49B.9.14引理B.11的證明。................................50B.9.15 B.4命題的證明。...............................53B.9.16 B.5命題的證明。...............................53參考文獻(xiàn)57B.1其他方差分解概念的定義和估計(jì)我們的主要分析集中于預(yù)測方差比率，作為沖擊重要性的度量，見第2.2節(jié)。本附錄補(bǔ)充了兩個概念--預(yù)測變量分解(FVD)和無條件頻率--規(guī)定變量分解(VD)--并討論了這兩個概念的定義和估計(jì)。在層位處對變量i的預(yù)測方差分解(FVD)是按FVDI進(jìn)行的,`1-Var(yi,t+`{ετ}-∞<τ≤t,{ε1,τ}t<τ<∞)Var(yi,t+`{ετ}-∞<τ≤t)=p`-1m=0θi,1,mpnεj=1p`-1m=0θi,j,m。(b.1)FVD度量了由于學(xué)習(xí)所關(guān)注的沖擊的路徑實(shí)現(xiàn)而引起的預(yù)測方差的減少，假設(shè)我們在形成預(yù)測時已經(jīng)有了過去的結(jié)構(gòu)沖擊的歷史。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)并不直接觀察結(jié)構(gòu)性沖擊，所以FVD最好是用來影響觀察潛在沖擊的經(jīng)濟(jì)主體的預(yù)測。FVD總是在0和1之間，純粹RE確定基本預(yù)測不確定性，如果firrst沖擊是方程（1）中唯一的沖擊驅(qū)動變量i，則FVD等于1。雖然FVR和FVD的概念一般是不一致的，但在Allscraction可逆的情況下，它們是一致的，因?yàn)樵谶@種情況下，信息集{yτ}-∞<τ≤tequals信息集{ετ}-∞<τ≤t。這就解釋了為什么SVAR文獻(xiàn)沒有在這兩個概念之間做出區(qū)分。B.1我們的第二個附加概念是Forni等人的頻率特性無條件方差分解(VD)。(2019，第3.4節(jié)）。在頻帶[ω,ω]上，變量i的VD由Vdi(ω,ω)rωωθi,1(E-Iω)dωpnεj=1Rωωθi,j(E-Iω)dω,0≤ω<ω≤π,(b.2)給出，其中，θi,j(L)是滯后多項(xiàng)式θ(L)的（i,j）元素。VDi(ω，ω)是Forni等人的百分比。（2019）指出在使用SVAR估計(jì)FVD時由不可可逆性引起的偏差。在將數(shù)據(jù)通過只保留周期性頻率[ω,ω]的帶通器后，yi,t的方差減少--由完全“關(guān)閉”感興趣的沖擊ε1,t引起。軟件包Dynare在求解DSGE模型后自動報(bào)告VDi(0,π)。識別和估計(jì)：VD。對VD的分析與我們對FVR的分析完全相似。確定VDi(ω，ω)=α×Rωωsyi～z(ω)dωRωωsyi(ω)dω，其中syi～z(ω)=αθi,1(e-iω)是sy～z(ω)的第i個元素，CF。方程(b.2)。由于右邊的最后一個分?jǐn)?shù)是點(diǎn)等價的，所以我們對α的等價集立即映射為對Vd的等價集。我們估計(jì)出的界為“α×Rωωsyi～z(ω)dωrωsyi(ω)dω，α×Rωωsyi～z(ω)dωrωsyi(ω)dω#。(B.3)用數(shù)值方法計(jì)算積分。

計(jì)算(B.3)所需的譜密度是估計(jì)的約化形式VAR參數(shù)的函數(shù)（見附錄A.1)。具體來說，sy(ω)=2πby(E-Iω)by(E-Iω)*,sy～z(ω)=2π∞x`=0∑y,～z,`e-iω\',by(e-iω)∞x`=0by,`e-iω\'，∑y，～z,`dcov(yt，～zt-`)=by，`b～z。在實(shí)踐中，我們以較大的滯后截?cái)鄆nnite和。識別和估計(jì)：fvd。包圍FVD需要更多的工作。從直覺上看，F(xiàn)VD的識別比FVRis更具挑戰(zhàn)性的原因是，即使我們知道α，IV ZTT也不能提供關(guān)于其他結(jié)構(gòu)沖擊εj,t,j6=1的信息。這很重要，因?yàn)榕cFVR不同，F(xiàn)VD的認(rèn)知(B.1)是以知道所有過去的沖擊而不是所有過去的宏觀觀測為條件的。命題B.1正式地表征了由此產(chǎn)生的識別集。設(shè)給定滿足命題1中假設(shè)的聯(lián)合譜密度WT=(yt，～zt)。在已知α∈(αlb,αub]的情況下，預(yù)測方差分解FVDi的最大可能值`為1（平凡界），而Smallest可能值為p`-1m=0cov(yi,t,～zt-m)p`-1m=0cov(yi,t,～zt-m)+αvar(～y(α)i,t+`{～y(α)τ}-∞<τ≤t)。(b.4)這里，～y(α)t=(～y(α)1，t，.，～y(α)ny，t)表示一個平穩(wěn)的高斯時間序列，其譜密度為～y(α)(ω)=sy(ω)-2παsy～z(ω)sy～z(ω)*,ω∈[0,2π]。表達(dá)式(b.4)在α中單調(diào)遞減，因此FVDi的總下界，`由α=αub得到；在這種邊界情況下，wecan表示～y(αub)t=yt-e(yt{～zτ}-∞<τ≤t)。對于任何`≥1，F(xiàn)VD上的上界總是等于1的平凡界。這個上界是由一個模型實(shí)現(xiàn)的，在這個模型中，所有的激波，除了第一個激波之外，在一個`周期延遲之后，只有一個正確的激波。相比之下，下限是非瑣碎和信息豐富的。本文的論點(diǎn)是：即使α已知，由于缺乏有關(guān)激波的信息，也不能確定FVD的分母Var(yi，t+`{ετ}-∞<τ≤t)。雖然我們可以用FVR的分母對這個條件方差進(jìn)行上限，但這個上限并不尖銳。相反，為了使分母最大化，盡可能多的預(yù)報(bào)噪聲應(yīng)該是純粹的預(yù)報(bào)變化，而不是與非可逆性有關(guān)。對于除ε1,t以外的所有沖擊，這是可以通過Wold分解結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的(Hannan，1970,Thm.2,p.158)。給定α，我們知道激波的貢獻(xiàn)；去除此貢獻(xiàn)后的殘差具有~y(α)t的分布，如命題中所示。如果α未知，則下界(b.4)的最小可能值為α的最大可能值，即αub,對此ε1貢獻(xiàn)了yt的最小預(yù)測值。我們估計(jì)命題B.1中的界為“p`-1m=0dcov(yi,t,～zt-m)p`-1m=0dcov(yi,t,～zt-m)+αdvar(～y(α)i,t+`{～y(α)τ}-∞<τ≤t)，1#。(b.5)為了逼近分母中的條件方差，我們按照附錄A.1的方法進(jìn)行。首先，我們用條件集{～y(α)τ}τ-m≤τ≤t代替條件集。第二，使用標(biāo)準(zhǔn)投影公式計(jì)算條件方差，其中過程的自協(xié)方差{～y(α)τ}被估計(jì)為dCov(～y(α)t+`,～y(α)t)=dCov(yt+`,yt)-αp∞m=0dCov(yt，～zt-m-`)dCov(yt，～zt-m)。在實(shí)踐中，我們以較大的滯后截?cái)鄆nnite和。b.2與一個沖擊相關(guān)的多個儀器在這里我們表明假設(shè)1到3中的多個IV模型是可測試的，但如果它與數(shù)據(jù)一致，那么idi-iv分析可以簡化為單IV情況。提取IV殘差向量等式（18）中的ZTAs。假設(shè)1和假設(shè)2中的多重-IV模型意味著ytand～zt:sy～z(ω)=α2πθ(E-Iω)eλ,ω∈[0,2π]之間的互譜如下。(B.6)因此，互譜具有秩-1因子結(jié)構(gòu)：它等于一個非常列向量乘以一個常行向量。這種可測試的性質(zhì)證明正是多重IV模型的特征。

設(shè)wt=(yt，～zt)的譜sw(ω)滿足命題1的假設(shè)。在假設(shè)1和2中存在一種形式的模型，它生成譜sw(ω)當(dāng)且僅當(dāng)存在NY維實(shí)向量ζ,`≥0,和ANNZ維單位長度常數(shù)實(shí)向量η,如sy～z(ω)=ζ(e-iω)η,ω∈[0,2π],(b.7),其中ζ(L)=p∞`=0ζ`L`。通過設(shè)置∑v=∑～z-αλλ，并將∑～za視為基本模型參數(shù)，而不是∑v，可以稍微重新參數(shù)化模型。然后，我們要求∑～z-αλλ為正半正定。顯然，∑～z=Var(～zt)是點(diǎn)正定的。接著，從(b.6)中注意到，λ是方程(b.7)中的η向量的點(diǎn)坐標(biāo)。這是因?yàn)榫仃嚨娜魏沃?1因式分解都是符號和標(biāo)度的，我們把η歸一化為長度1。設(shè)（？）為任意(nz-1)×nzmatrix，使得（？）∑-1/2～zλ=0。nz×nzmatrixQλ∑-1~zλλ∑-1~z∑∑-1/2~z！。由于Q是點(diǎn)identi（給定選擇的參數(shù)），所以基于線性變換的IV殘差sq～zt=α...ε1,t+～vt,～vtN0,λ∑-1~zλ-α0wwwo！進(jìn)行performenti分析不會失去一般性。然而，請注意，α只進(jìn)入Q～zt中的第一個元素的方程，而Q～zta中的(nz-1)個元素與第一個元素?zé)o關(guān)（并且與所有導(dǎo)聯(lián)和滯后無關(guān)）.因此，在對θi、j、`和α進(jìn)行識別分析時，將注意力限制在q～zt(q～zt)的識別元素上是不會失去一般性的。在主文本中的等式（19）中定義了q～ztequals ztas的foungrst元素。B.2對IVs的額外限制可以確保點(diǎn)identi。特別是，如果nz≥2并且研究者愿意將∑vt限制為對角線，那么α是從Var(～zt)=∑v+αλλ的anyo對角元素中得到的點(diǎn)identi，因?yàn)棣耸屈c(diǎn)identi。B.2上面的顯示意味著我們必須有α≤(λVar(～zt)-1λ)-1，這正是應(yīng)用于zt時α的上界所得到的。B.3儀器與多重沖擊相關(guān)。在本節(jié)中，我們問如果研究者只愿意假設(shè)觀察到的外部儀器集與向量εx,t中收集的大多數(shù)nεx沖擊相關(guān)，那么預(yù)測方差比能說多少。因此，在這一節(jié)中，我們不施加只有激波ε1,tbe與IV（s）,擴(kuò)展模型和FVR相關(guān)的排除限制。在不喪失一般性的情況下，假設(shè)nzIVs與nε激波的nεx(nεx)相關(guān)。用εx，t表示沖擊的子向量。現(xiàn)在，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家不必知道nεx。我們得到了推廣的SVMA-IV模型:asyt=θ(L)εt,θ(L)∞x`=0θ`L`,(b.8)zt=∞x`=1(ρ`zt-`+λ`yt-`)+'Aεx,t+∑1/2vvt{z}～zt,(b.9),其中γ為nz×nεx。我們繼續(xù)強(qiáng)加I.I.D.沖擊的正常性，參見。假設(shè)3.我們感興趣的對象是關(guān)于進(jìn)入IV方程的nzspecific的沖擊線性組合的預(yù)測方差比，γεx,t:fvri,`1-Var(yi，t+`{yτ}-∞<τ≤t,{γεx,τ}t<τ<∞)Var(yi，t+`{yτ}-∞<τ≤t)=p`-1m=0cov(yit，～zt-m)(γγ)-1cov(yit，～zt-m)Var(yi，t+`{yτ}-∞<τ≤t)。(B.10)在下面我們給出了這個對象的上界和下界。給出了Ⅷ，F(xiàn)VR是點(diǎn)identi的，所以我們需要推導(dǎo)出γγ的identi的賦值集。與附錄B.2類似，模型(b.8)-(b.9)的可檢驗(yàn)限制是ytand～zthas的聯(lián)合譜為秩-nεxfactor結(jié)構(gòu)。

如果這個假設(shè)不被拒絕，我們可以將儀器向量降維為min(nz，nεx)，而不需要給出FVRi的定義。b.3特別地，我們可以假設(shè)γ具有滿行秩，從現(xiàn)在起我們可以這樣做，從而證明(b.10)中的第二個等式。b.3這個論點(diǎn)與附錄b.2中的一個激波情況非常相似，并且可以根據(jù)要求得到。用于γ的識別集。definne∑～zVar(～zt)。類似于命題1的證明，我們可以證明：給定的γ與數(shù)據(jù)的聯(lián)合譜密度是一致的，并且僅當(dāng)γ具有滿行秩，∑～z-γγ≥0,(B.11)和∑γ-2πS～z_8~(ω)≥0,±ω∈[0,π],(B.12)其中S～z_8~(ω)=sy～z(ω)*sy(ω)-1sy～z(ω),如果a-b是Hermitian半正則（對于≤),我們使用符號a≥B。FVRi上的銳利界是在NZ×NZ對稱正解矩陣能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量能量我們現(xiàn)在在FVR的定義(B.10)中建立了分子的一個尖銳的下界（分母是點(diǎn)定義的）。觀察到`1xm=0Cov(yit，～Zt-m)(γγ)-1Cov(yit，～Zt-m)=`1xm=0Cov(yit，～Zt-m)∑-1～Zcov(yit，～Zt-m)+`1xm=0Cov(yit，～Zt-m){(γγ)-1-∑-1～Z}Cov(yit，～Zt-m)≥`1xm=0Cov(yit，～Zt-m)∑-1～Zcov(yit，～Zt-m)，其中不等式使用約束(b.11)。上面的下限是尖銳的：它是在∑v=0nz×nzandγγ=∑～z的模型中得到的，即當(dāng)所有的IVs都是完美的時。B.4FVR的上界。雖然我們還不能推導(dǎo)出FVR的上界的封閉形式的表達(dá)式，但直接用數(shù)值計(jì)算它是很簡單的。給出了n×n實(shí)對稱正解矩陣的空間，設(shè)tr(A)表示矩陣A的跡。在定義(B.10)B.4中分子上的銳利上界(B.10)B.4.注意，由Schur補(bǔ)式可知γγ=∑～z=2πs～z(ω)滿足約束(B.12)和(yt，～zt)的譜的正半邊性由程序maxx∈snztr(XC)+tr(AC)(B.13)X≤B(ω)，ω∈[0，π]的值給出。這里X是(γγ)-1-∑-1~z的代名詞，Cp`-1m=0Cov(yit,～zt-m)Cov(yit,～zt-m)Cov(yit,～zt-m)Cov(yt,～zt-m)）,A∑-1~z和B(ω)2πs~z~(ω)-1-∑-1~z。我們可以通過將上面的程序轉(zhuǎn)化為一個具有一定數(shù)量約束的（凸）半解析程序來求解任意精度。將區(qū)間[0,π]劃分為N個等長塊，并考慮松弛約束setX≤～bm,m∈{1,2,...,N},(b.14),其中～bmNπ×rmπN(m-1)πnb(ω)dω。當(dāng)N→∞時，該約束集任意地逼近原問題的約束集，但對于任意N項(xiàng)，離散化程序的值提供了(B.10)中分子的一個上界。在MATLAB和其他環(huán)境中，可以用有限的數(shù)值算法來計(jì)算(B.13)-(B.14)形式的半有限程序的解。B.5或者，我們可以推導(dǎo)出封閉形式的FVR分子(B.10)的非尖銳上界。例如，在X+～∑-1～z≤rπ-πs～z~(ω)dω-1=Var(～z~t)-1的條件下，通過最大化tr(XC)+tr(AC)獲得一個保守上界。這就產(chǎn)生了上限`-1xm=0cov(yit,～zt-m)Var(～z_nt)-1cov(yit,～zt-m)，如果沖擊εx都是可恢復(fù)的，則該上限約束，但否則不尖銳。本文給出了一個不那么保守但通常仍是次優(yōu)的上界:tr(AC)+nzxm=1infω∈[0,π]übmm(ω),其中übmm(ω)是üb(ω)c1/20b(ω)c1/2的（m,m）元，C=c1/2c1/20。當(dāng)nz=1時，Thislatter上界是尖銳的，在這種情況下，該節(jié)中的下界和上界減少到3.B.5節(jié)中導(dǎo)出的FVR界表達(dá)式，例如見http://cvxr.com/cvx/doc/sdp.html。為了將我們的約束轉(zhuǎn)化為與實(shí)矩陣相關(guān)的約束，請注意，具有實(shí)部a和虛部B的厄米矩陣是正半解析當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)對稱矩陣a BB a是正半解析。

我們強(qiáng)調(diào)了兩種特殊的情形，其中關(guān)于γεx，t的FVR（我們在上面部分地證明了這一點(diǎn)）是有趣的。第一，正如Mertens&Ravn(2013)中所說，我們可以假設(shè)nzinstruments與相同數(shù)目的nεx=nzof結(jié)構(gòu)沖擊相關(guān)。在這種情況下，γ是非奇異的，所以關(guān)于γεx的FVR和關(guān)于這些εx的FVR是一樣的。此外，如果我們進(jìn)一步假定所有包含激波εx,皮重可恢復(fù)，則～z_tE(～zt{yτ}-∞<τ<∞)=γεx,t，則ytwith關(guān)于εx,tis點(diǎn)的歷史分解為E(yt{εx,t}-∞<τ≤t)=E(yt{～z_qτ}-∞<τ≤t)。其次，考慮有一個IV但可能有幾個包含激波的情況，nεx>1=nz。以上分析表明，即使baselinemodel(3)中的IV排除限制失效，關(guān)于進(jìn)入IV方程的特定線性組合γεx,tof激波的FVR數(shù)據(jù)也是信息的。關(guān)于這種特殊的激波線性組合的FVR顯然是關(guān)于與IV.B.4可逆性和SVAR-IV相關(guān)的全向量εx、tof激波的FVR的下界。在本節(jié)中，我們描述了激波不可可逆時SVAR-IV方法的偏差。在假設(shè)1到3中，我們始終假設(shè)SVMA-IV模型的有效性。我們的分析建立在Lippi&Reichlin(1994)和Forni等人的結(jié)果之上。(2019)，他們不考慮使用外部工具來進(jìn)行調(diào)整。SVAR-IV（或“代理SVAR”）策略通過使用外部IV來將預(yù)測誤差從縮減形式的VAR中旋轉(zhuǎn)來識別結(jié)構(gòu)性沖擊（股票，2008年；股票和沃森，2012年；默滕斯和拉文，2013年；格特勒和卡拉迪，2015年；Ramey，2016)。為了分析的清晰性，我們使用了一個具有預(yù)測誤差ut的VAR(∞)模型utyt-e(yt{yτ}-∞<τ<t)。假設(shè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)用的單一殘差化IV～ZT=αε1,T+σVVTIS。在SVARIV假設(shè)nε=n，所有激波可逆的情況下，我們將得到UT=θεT，其中θ為平方且非奇異。那么感興趣的沖擊將被定義為ε1,t=γut,其中γ(∑u～z∑-1u∑u～z)-1/2∑-1u∑u～z，∑u～zCov(ut，～zt)和∑uVar(ut)。我們現(xiàn)在問，如果逆性假設(shè)不成立并且nε≥ny，SVAR-IV過程的輸出會發(fā)生什么。命題B.3。假設(shè)假設(shè)1至3中的SVMA-IV模型。SVAR-IV所定義的激波是由~ε1,tγut=nεxj=1∞x`=0aj,εj,t-`(b.15)給出的，其中標(biāo)量coe{aj,`}滿足nεj=1p∞`=0aj,`=1和a1,0=pr。相關(guān)的SVAR-IV沖激響應(yīng)由b.6～θo,1,`Cov(yt，～ε1,t-`)=nεxj=1∞xm=0aj,mθo,1,`+m,`=0,1,2,在非可逆性條件下，SVAR-IV將沖擊視為所有沖擊的分布滯后。6在任何SVAR(∞)模型中，該模型所隱含的沖擊響應(yīng)必須等于其結(jié)果在給定沖擊上的局部投影。這是由Wold表示的。沖擊在底層模型中，關(guān)于真正感興趣的沖擊ε1，tequaltopR（可逆度的平方根，參見第2.1節(jié)）。這導(dǎo)致沖動被跨越地平線和沖擊。在沖擊水平上，SVAR-IVOVERS用1/PR的因子表示真脈沖響應(yīng)θo,1,0（對一個標(biāo)準(zhǔn)差沖擊）的大小。因此，SVAR-IV隱含的一步提前預(yù)測變量分解對第一次沖擊的真實(shí)一步提前FVRs（如2.1節(jié)所述）夸大了1/R因子。SVAR-IV隱含的多步預(yù)測變量分解的偏差以更復(fù)雜的方式依賴于真脈沖響應(yīng)的序列�？傊�，SVAR-IV分析雖然解決了SVAR-IV分析中常見的“旋轉(zhuǎn)問題”，但沒有解決可逆性問題。